O ponto médio entre dois pontos \(A\) e \(B\) é aquele que se localiza no meio do segmento de reta, com extremidades em tais pontos. Isto é, se \(M\) for o ponto médio: Então: $$AM=MB$$ Ou seja, ele divide o segmento de reta \(\bar{AB}\) em duas partes iguais. 📚 Você vai prestar o Enem 2020? Estude de graça com o Plano de Estudo Enem De Boa 📚 Se \(M(x_{M},y_{M})\) for o ponto médio entre \(A(x_{A},y_{A})\) e \(B(x_{B},y_{B})\), então temos que as coordenadas de \(M\) são obtidas pelas médias aritméticas das coordenadas de \(A\) e \(B\): Por
exemplo, se \(A(1,2)\) e \(B(3,4)\), então o ponto médio entre eles é: $$M\left(\frac{1+3}{2},\frac{2+4}{2}\right)=M\left(\frac{4}{2},\frac{6}{2}\right)\Rightarrow M(2,3)$$ 🎓 Você ainda não sabe qual curso fazer? Tire suas dúvidas com o Teste Vocacional Grátis do Quero Bolsa 🎓 Uma aplicação importante do ponto médio consiste na determinação do comprimento de uma mediana qualquer de um triângulo. Por exemplo, vamos tomar o triângulo \(ABC\) exibido na figura abaixo: A mediana \(\bar{AM}\) é o segmento de reta que sai do vértice \(A\) e chega no ponto médio \(M\) do lado \(\bar{BC}\). Para determinar o seu comprimento, devemos, inicialmente, encontrar as coordenadas de \(M\). E, assim, o tamanho \(AM\) será a distância entre os pontos \(A\) e \(M\). Por exemplo, se um triângulo \(ABC\) tiver vértices \(A(1,2),B(3,4)\) e \(C(1,6)\), então o ponto médio entre \(B\) e \(C\) tem coordenadas: $$M\left(\frac{3+1}{2},\frac{4+6}{2}\right)=M(2,5)$$ Logo, a mediana \(\bar{AM}\) terá comprimento dado por: $$d^{2}=(1-2)^{2}+(2-5)^{2}=(-1)^{2}+(-3)^{2}=1+9$$ $$\Rightarrow d^{2}=10$$ Ou seja: $$AM=\sqrt{10}$$ BaricentroO baricentro de um triângulo é o ponto de encontro das medianas. Ele geralmente é denotado pela letra \(G\), pois coincide com o centro de gravidade do triângulo. Se \(A(x_{A},y_{A})\), \(B(x_{B},y_{B})\) e (C(x_{C},y_{C})\) forem os vértices de um triângulo \(ABC\), então seu baricentro poderá ser calculado pela média aritmética dos vértices: $$G(x_{G},y_{G})=G\left(\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3},\frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}\right)$$ Tomando como exemplo o triângulo do exemplo anterior, temos que seu baricentro tem coordenadas dadas por: $$G\left(\frac{1+3+1}{3},\frac{2+4+6}{3}\right)=G\left(\frac{5}{3},4\right)$$ FórmulasExercício de fixação UECE Se \((2,5)\) for o ponto médio do segmento de extremos \((5,y)\) e \((x,7)\), então valor de \(x+y\) é igual a: O segmento de reta é um subconjunto da reta, é parte da reta. Vamos determinar as coordenadas do ponto médio do segmento PQ da figura. Assim, o ponto médio tem coordenadas: Exemplo 1. Determine as coordenadas do ponto médio do segmento AB de extremos A(1, 9) e B(7, 5). Portanto, o ponto médio do segmento AB tem coordenadas M(4 , 7) Exemplo 2. O ponto médio do segmento PQ tem coordenadas M(5, 5). Sabendo que o ponto P tem coordenadas P(3, 4), quais são as coordenadas do ponto Q? Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Solução: Sabemos que Segue que Portanto, o ponto Q tem coordenadas (7, 6). Exemplo 3. Determine as coordenadas do ponto médio do segmento AM, sabendo que M é o ponto médio do segmento AB, sendo A(0, 0) e B(– 12, 20). Solução: Primeiro determinaremos as coordenadas do ponto M. Como M é ponto médio do segmento AB, temos que: Logo, M tem coordenadas (– 6, 10). Queremos determinar o ponto médio do segmento AM. Vamos chamar esse ponto de N. Assim, Portanto, o ponto médio do segmento AM tem coordenadas N(– 3, 5). Videoaulas relacionadas: Como achar o ponto médio de um vetor?Coordenadas do ponto médio
xM=xA+xB2.
Como calcular as coordenadas de um ponto médio?Se o ponto fosse A (2,1) e B (3,4), qual seria as coordenadas do ponto médio? Podemos concluir que a abscissa xM é a media entre as abscissas xA e xB, portando yM será a mediana de yA e yB. Portanto, o ponto médio M terá coordenadas iguais a (5/2, 5/2).
Como calcular ponto médio triângulo?Para encontrá-lo, é necessário determinar as suas três medianas, bem como o ponto de encontro entre elas. Quando o triângulo está representado no plano cartesiano, para encontrar o baricentro, basta calcular a média aritmética entre os valores de x e de y para encontrar o par ordenado do baricentro.
O que é o ponto médio de um triângulo?Dado um segmento de reta, o ponto médio é aquele que divide o segmento exatamente ao meio, originando dois segmentos de mesmo comprimento.
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