Compreender o conceito de múltiplo e divisor de um número inteiro é muito importante para resolver grande parte dos cálculos matemáticos. Esses conceitos são válidos tanto para os números naturais quanto para os números inteiros, visto que os números naturais estão contidos nos números inteiros: Show
Leia também: Relação entre conjuntos numéricos: conheça as condições Múltiplos de um número inteiroConhecidos os números inteiros m e n, o número m será múltiplo de n se, e somente se, existir um número inteiro k, de modo que: m = n ∙ k Para verificar se um número é múltiplo de outro, basta encontrar um número inteiro de modo que a multiplicação entre eles resulte no primeiro número. Exemplos: a) 35 é múltiplo de 7, pois 35 é igual a 7 multiplicado pelo número inteiro 5. b) 63 é múltiplo de 21, pois 63 é igual a 21 multiplicado pelo número inteiro 3. c) 22 não é múltiplo de 3, pois não existe número inteiro que, multiplicado por 3, resulte em 22. Do exemplo a, perceba que m = 35, n = 7 e que o número a determinar a existência é k = 5. O mesmo vale para os demais exemplos. Perceba também que, caso não encontremos o valor de k, podemos afirmar que os números não são múltiplos. Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Leia também: Propriedades da multiplicação e da adição para o cálculo mental
2 ∙ 1 = 2 2 ∙ 2 = 4 2 ∙ 3 = 6 2 ∙ 4 = 8 2 ∙ 5 = 10 2 ∙ 6 = 12 2 ∙ 7 = 14 2 ∙ 8 = 16 2 ∙ 9 = 18 2 ∙ 10 = 20 Da definição de múltiplos, podemos perceber que os números que resultam da multiplicação por 2 são os múltiplos do número inteiro 2. Então, os múltiplos do número 2, que chamamos por M(2), são: M(2) = {2;4;6;8;10;12;14;16;18;20;...}
3 ∙ 1 = 3 3 ∙ 2 = 6 3 ∙ 3 = 9 3 ∙ 4 = 12 3 ∙ 5 = 15 3 ∙ 6 = 18 3 ∙ 7 = 21 3 ∙ 8 = 24 3 ∙ 9 = 27 3 ∙ 10 = 30 De maneira semelhante, perceba que todos os números que são resultados da multiplicação por 3 são múltiplos do número inteiro 3. Veja: M(3) = {3;6;9;12;15;18;21;24;27;30;...}
O número zero pertence ao conjunto dos inteiros e sabemos que qualquer número multiplicado por zero é igual a zero, ou seja, o número zero é múltiplo de todo número inteiro. 0 = 0 ∙ k As definições de múltiplos e divisores são decorrentes das quatro operações matemáticas básicas.Divisor de um número inteiroConhecidos os números m e n, dizemos que n é divisor de m se n for múltiplo de m, em outras palavras, a divisão de n por m deve deixar resto 0. Exemplos: a) 21 é múltiplo de 7, então 7 é divisor de 21. b) 99 é múltiplo de 11, então 11 é divisor de 99. c) 12 não é múltiplo de 5, então 5 não é divisor de 12. Nos exemplos a e b, que trazem as divisões de 21 por 7 e 99 por 11, o resto é igual a 0. Representamos os divisores de um número da seguinte maneira: a) Divisores de 2: D(2) = {1;2} b) Divisores de 3: D(3) = {1;3} c) Divisores de 20: D(20) = {1;2;4;5;10;20} Propriedade dos múltiplos e divisoresAs propriedades que envolvem múltiplos e divisores estão relacionadas com a divisão de dois números inteiros. Das definições, podemos perceber que, quando um número inteiro é múltiplo de outro, ele também é divisível por esse outro número. Para as duas primeiras propriedades, tome dois números inteiros N e d e considere o algoritmo. N = d ∙ q + r, com q e r também naturais N é o dividendo, d é o divisor, q é o quociente e r é o resto.
Exemplo Na divisão de 230 por 12, temos o quociente (q) igual a 19 e resto (r) igual a 2. Perceba também que N =230 e d =1 e que, de fato, (230 – 2 +12) = 240, que é divisível por 12. Leia também: Algoritmo da divisão: como utilizar? Observações importantesUma importante consequência da definição de múltiplos e divisores é a implicação na definição de números primos. Um número inteiro p positivo é chamado de primo se tiver como divisores somente o número 1 e si próprio. Então, os números 2, 3 5, 7 são primos porque, na lista de seus divisores, os únicos números que aparecem são o número 1 e o próprio número. O número inteiro 2 é o único número par que é primo. Os demais pares são todos múltiplos de 2, portanto já perdem a características de números primos. Tabela dos primos entre 1 e 100Os números assinalados em verde são os primos compreendidos entre 1 e 100.Exercício resolvidoQuestão 1. (Uece) Maria observou que suas férias, naquele ano, terminaram no dia 27 de julho, uma segunda-feira, e agendou uma reunião com seus amigos no primeiro feriado do segundo semestre, que no caso era dia 7 de setembro. A reunião foi agendada para um (a): a) sábado b) domingo c) segunda-feira d) terça-feira e) sexta-feira Solução: Após o dia 27 de julho até a data do feriado, que é dia 7 de setembro, são 4 + 31 + 7 = 42 dias, que, por sua vez, é múltiplo de 7. Assim, a reunião ficou agendada para uma segunda-feira. Letra c. Qual é a probabilidade de sair um número múltiplo de 3?c) sair um múltiplo de 3: agora o evento A = {3, 6} com 2 elementos; logo a probabilidade procurada será p(A) = 2/6 = 1/3.
Qual é a probabilidade de se obter um número menor que 3 no lançamento de um dado?Sendo o dado perfeito, todas as 6 faces têm a mesma chance de caírem voltadas para cima. Vamos então, aplicar a fórmula da probabilidade. Para responder na forma de uma porcentagem, basta multiplicar por 100. Portanto, a probabilidade de sair um número menor que 3 é de 33%.
Qual é a probabilidade de se jogar um dado e obter o número 3 ou um número ímpar?Resposta verificada por especialistas
A probabilidade de se obter o número 3 ou um número ímpar é 50%.
Qual a probabilidade de lançar um dado e tirar um número maior que 3 no dado?A probabilidade de se obter um número acima de 3 é 1/2, pois há 3 possibilidades: os números 4, 5 ou 6.
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