Qual o polígono cujo o número de diagonais é o quíntuplo do número de lados?

Matemática

Esta é uma abordagem simples de como determinar quantas diagonais são possíveis traçar num polígono convexo sem ter que propriamente traçá-las, mas apenas sabendo o número de lados do polígono.

Definição $1$: Diagonal de um polígono é o segmento de reta que une dois de seus vértices não-consecutivos.

Tomando um quadrilátero qualquer, vemos que parte apenas uma diagonal de cada vértice. Por exemplo, do vértice $A$, parte apenas a diagonal $\overline{AC}$:

Tomando um pentágono, temos, por exemplo, que do vértice $A$ partem duas diagonais: $\overline{AC}$ e $\overline{AD}$:

Já para um hexágono, temos, por exemplo, que do vértice $A$ partem três diagonais: $\overline{AC}$, $\overline{AD}$ e $\overline{AE}$:

O que queremos é encontrar uma forma de determinar a quantidade de diagonais sem ter que traçá-las no polígono. Vejam que para um polígono de $4$ lados, temos $1$ diagonal partindo de um vértice; para um polígono de $5$ lados, temos $2$ diagonais partindo de um vértice; para um polígono de $6$ lados temos $3$ diagonais partindo de um vértice. Vejam que o número de diagonais que parte de um vértice é igual à quantidade de lados do polígono menos $3$. E para um polígono de $N$ lados, teremos $N-3$ diagonais partindo de um vértice. Assim, podemos montar uma pequena tabela:

Como o número de vértices é igual ao número de lados do polígono, segue que teremos, com extremidade nos $N$ vértices:

\begin{equation}
N\cdot (N-3) \: \text{diagonais}
\end{equation}

No entanto, como cada diagonal tem extremidades em dois vértices, cada diagonal é contada duas vezes, por exemplo no quadrilátero, temos que as diagonais $\overline{AC}= \overline{CA}$, representam a mesma diagonal. Então, basta dividirmos por dois:

\begin{equation}
d=\frac{N(N-3)}{2}
\end{equation}
Para ilustrarmos esse fato, observamos as imagens abaixo:

Podemos montar uma tabela:

Exemplo $1$: Calcular o número de diagonais de um polígono de $256$ lados.

Fazemos:
\begin{equation*}
d=\frac{N(N-3)}{2}=\frac{256(256-3)}{2}=32.384
\end{equation*}
Portanto, há $32.384$ diagonais num polígono de $256$ lados.

Exemplo $2$: Qual é o polígono cujo número de diagonais é o quíntuplo do  número de lados?

Temos que $d=5N$. Então, fazemos a substituição:
\begin{equation*}
\frac{N(N-3)}{2}=5N\Rightarrow N^2-3N=10N \Rightarrow N^2-13N=0 \Rightarrow N(N-13)=0
\end{equation*}

Daqui, concluímos que ou $N=0$ ou $N=13$. Mas, não faz sentido um polígono de $0$ lados, logo tomamos $N=13$ como solução. Assim, o polígono procurado é um tridecágono.

Montemos uma tabela para relembrarmos os nomes dos polígonos:

Exemplo $3$: A diferença entre o número de diagonais de dois polígono é $85$ e o número de lados de um é o triplo de número de lados do outro. Quais são estes polígonos?

Dizemos que $d_1$ é o número de diagonais do polígono de $N_I$ lados e $d_2$ o número de diagonais do polígono de $N_{II}$ lados. Podemos retirar do problema as seguintes informações:

\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
d_2-d_1=85\\
N_2=3N_1
\end{matrix}\right.
\end{equation*}

Temos que:

\begin{matrix}
d_1=\frac{N_I(N_I-3)}{2} \: \text{e} \: d_2=\frac{N_{II}(N_{II}-3)}{2}
\end{matrix}

Substituindo $d_1$ e $d_2$ na primeira equação do sistema acima, obtemos:

\begin{matrix}
d_2-d_1=85\\
\frac{N_{II}(N_{II}-3)}{2}-\frac{N_I(N_I-3)}{2}=85\\
\frac{N^2_{II}-3N_{II}}{2}-\frac{N^2_I+3N_I}{2}=85\\
N^2_{II}-3N_{II}-N^2_I+3N_I=170
\end{matrix}

Mas $N_{II}=3N_I$, assim:

\begin{matrix}
(3N_I)^2-3(3N_I)-N_I^2+3N_I=170\\
9N_I^2-9N_I-N_I^2+3N_I=170\\
8N_I^2-6N_I-170=0\\
4N_I^2-3N_I-85=0\\
N_I=\frac{3\pm \sqrt{9+1360}}{8}\\
N_I=\frac{3\pm 37}{8}\\
N_{I_1}=5\\
N_{I_2}=-34/8
\end{matrix}

A raiz negativa não nos interessa e o que procuramos é a raiz positiva $5$. Assim, fazemos:

\begin{equation*}
N_{II}=3N_I \Rightarrow 3\cdot 5=15
\end{equation*}

Desta forma, os polígonos procurados são o pentágono e o pentadecágono.

Referências:

$[1]$ Fundamentos da Matemática - Ismael Reis - $7^a$ - Ed. Moderna

Veja mais:

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