Neste texto, veremos as combinações de “n” elementos, tomados “p” a “p” de algum conjunto. Ok, mas como assim? Diferente dos demais
conteúdos na matemática, a análise combinatória (conteúdo cujo tema combinação está envolvido) apresenta pouca teoria para ser lida. O estudo dessa matéria se dá por meio de muitos exemplos e esforço por parte do aluno para entender como funciona a mecânica dos exercícios. Dessa forma, papel e lápis na mão, porque este
texto está cheio de exemplos e exercícios para te ajudar, beleza? 📚 Você vai prestar o Enem? Estude de graça com o Plano de Estudo Enem De Boa 📚 De maneira geral, indicamos o número de
combinações simples de "n" elementos tomados “p” a “p” da seguinte maneira: O mais importante a saber aqui é que a ordem da escolha dos elementos não importa na combinação. Cuidado para não confundir com o arranjo, em que a ordem da escolha dos elementos importa, ou ainda com a permutação, em que estamos procurando trocar os termos de uma sequência de posição. A ordem da escolha dos elementos não ser importante é a principal característica desse artifício e não pode ser esquecida de forma
alguma! Vamos a uma situação simples para podermos comparar e entender a diferença entre um arranjo e uma combinação. Imagine uma turma com 20 alunos, dos quais 3 serão escolhidos para formarem uma comissão de formatura. Nesta comissão, não há nenhuma distinção entre os cargos, ou seja, a ordem da escolha dos três alunos não importa! Suponha que sejam escolhidos João, Maria e Aline. Se fossem
escolhidos Aline, Maria e João não seria a mesma comissão? Neste caso, temos um problema de combinação. Agora imagine que estes mesmos 20 alunos participarão de uma corrida que premiará os 3 primeiros colocados, com prêmios diferentes para cada um. Neste caso, a ordem com que escolhemos os 3 alunos importa! Se tivermos a premiação de 1º, 2º e 3º colocados para João, Maria e Aline, respectivamente, é diferente de premiar Aline, Maria e João nesta
ordem. Assim, temos um problema de arranjo. Do ponto de vista mais formal, uma combinação tem a característica de conjunto numérico {a, b, c} é o mesmo conjunto que {b, c, a}, por exemplo. Já um arranjo carrega em si a ideia de sequência numérica (a, b, c) é diferente de (b, c, a), por exemplo. Isso significa que a ordem como os elementos são colocados nos problemas de combinação não interfere na solução desses problemas. Fique tranquilo, com os exemplos, a
ideia ficará mais clara. Assim, sem mais delongas, vamos a eles! 🎯 Simulador de Notas de Corte Enem: Descubra em quais faculdades você pode entrar pelo Sisu, Prouni ou Fies 🎯 O número “n” se refere ao
número de elementos do conjunto todo do qual se deseja escolher os “p” elementos. Aqui estão alguns exemplos para te ajudar a aplicar a fórmula da combinação: O jogo de futebol de salão é disputado em equipes de 5 jogadores. Supondo que em um grupo de 8 pessoas, todos podem jogar em qualquer posição, quantos times de futebol de salão podemos formar com
elas? Solução: sabendo que um time de futebol de salão é composto por 5 jogadores, temos 8 elementos tomados 5 a 5 (8 pessoas que podem ser combinadas 5 de cada vez). Repare que a ordem dos jogadores não altera o problema, pois se você escolher o jogador 1 e depois o jogador 2, ou o jogador 2 e depois o jogador 1, o time continuará sendo o mesmo. Assim, a ordem não importa. Dessa forma, aplicando a fórmula da combinação, temos: Em uma assembleia, há 12 homens e 10 mulheres. Quantas comissões de 8 pessoas podemos formar, sendo 5 homens e 3 mulheres? Solução: neste exercício, vamos calcular a combinação para as mulheres e para os homens separadamente, para depois multiplicá-las,
determinando todas as combinações possíveis. Note, novamente, que a ordem não é relevante no exercício. Assim, vamos formar um grupo com 5 homens dentre os 12 disponíveis: Vemos, portanto, que há 792 maneiras de se fazer isso. Já para as mulheres, precisamos escolher 3 num grupo de 10. Fazemos: Dessa forma, no total, temos 792 x 120 = 95.040 comissões que podem ser formadas. Exemplo 3Quantas diagonais tem um polígono regular de n lados? Solução: sabemos que o polígono tem “n” vértices (A1, A2,..., An). Nota-se que cada diagonal é traçada por meio de um par não ordenado (ou seja, não subsequente) de dois vértices (, por exemplo). Nesse sentido, vamos combinar todos os vértices, dois a dois, formando todos os segmentos possíveis (ou seja, diagonais e lados). Sabemos que existem “n” lados (já que não sabemos a quantidade de lados do polígono), assim: Como queremos apenas o número de diagonais “d”, precisamos subtrair desse valor o número de lados do polígono (ou seja, subtrair “n”, já que o polígono tem “n” lados): Exemplo 4Calcule o valor de "p" sabendo que Solução: vamos calcular separadamente, para depois finalizar o cálculo: Qual a diferença entre combinação simples e combinação completa?Nos exemplos que vimos anteriormente, tivemos sempre a escolha de elementos distintos para a formação do novo conjunto. Mas e se tivéssemos a possibilidade de ter elementos repetidos na hora de escolher os elementos? Pense no seguinte exemplo, você está numa sorveteria e há 4 sabores de sorvete (A - abacaxi, B - baunilha, C - chocolate, D - damasco) para você escolher 2 bolas. Primeiramente, vamos pensar na escolha de sabores distintos. Como a ordem da escolha dos sabores não importa, o total de combinações podem ser encontradas por meio de uma combinação simples: São elas: AB, AC, AD, BC, BD e CD. Mas e se os sabores pudessem ser repetidos? Como contar o total de possibilidades? Vamos primeiro listar as possibilidades e depois verificar a fórmula. Combinações possíveis com repetição: AA, AB, AC, AD, BB, BC, BD, CC, CD, DD (10 no total). Neste caso, podemos usar a fórmula da combinação com repetição (ou combinação completa): Nesta fórmula, CR denomina a combinação com repetição, “n” é o total de elementos agrupados de “p” em “p”, podendo haver repetição. No nosso exemplo do sorvete teríamos o seguinte: Sendo assim, teríamos 10 combinações possíveis com repetição, enquanto as combinações simples seriam apenas 6. Quando utilizar a combinação no dia a dia?A análise combinatória é extensamente aplicada atualmente. O ramo da genética na biologia a utiliza como ferramenta essencial para estudar os possíveis genótipos e fenótipos que podem se manifestar. Para a engenharia da computação, o desenvolvimento de senhas e códigos depende de forma crucial da análise combinatória e, por consequência, da combinação. No geral, o estudo das possibilidades está em tudo no nosso cotidiano! 🎓 Você ainda não sabe qual curso fazer? Tire suas dúvidas com o Teste Vocacional Grátis do Quero Bolsa 🎓 Exercício de fixação ENEM/2016 - adaptado O tênis é um esporte em que a estratégia de jogo a ser adotada depende, entre outros fatores, de o adversário ser canhoto ou destro. Um clube tem um grupo de 10 tenistas, sendo que 4 são canhotos e 6 são destros. O técnico do clube deseja realizar uma partida de exibição entre dois desses jogadores, porém, não poderão ser ambos canhotos. Qual o número de possibilidades de escolha dos tenistas para a partida de exibição? A Resposta A. B Resposta B. C Resposta C. D Resposta D. E Resposta E. Quantas comissões de 4 pessoas podem ser formadas com 8 pessoas?Resposta: 210 comissões. Espero ter ajudado.
Quantas comissões de 4 pessoas podem ser formadas com um grupo de 7 pessoas?Resposta verificada por especialistas
Podem ser formadas 35 comissões de 4 pessoas considerando 7 possíveis.
Quantas comissões de 4 pessoas podem ser formadas em um grupo de 10 pessoas?10.9.8. =720/8!= 90 que podem ser formados.
Quantas comissões diferentes compostas de 4 funcionários podem ser formadas a partir de um grupo de 10 funcionários?Desse universo de 10 pessoas, o total de comissões que podem ser formadas, com 4 pessoas é dado por uma C10,4. Então: C10,4 = 10!/ 4! 6!
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