Determine a medida de cada ângulo externo desconhecido nos polígonos a seguir

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• Como calcular a medida de um ângulo externo de um polígono?
• Como calcular o ângulo externo de um polígono irregular?
• Qual a medida do ângulo externo de um polígono regular de 72 lados?
• Qual é a medida de um ângulo externo de um polígono de 10 lados?

388 pág.

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180° = 1 080° 
Octógono.
Ao decompormos 
um polígono 
convexo em 
triângulos, cada 
triângulo obtido 
deve ser formado 
por exatamente 
3 vértices do 
polígono.
Note que a quantidade de triângulos em que um polígono convexo é decom-
posto é igual à quantidade de lados desse polígono menos 2.
Em um polígono convexo de n lados, a soma das medidas 
dos ângulos internos (S) é dada por: S = (n − 2) ⋅ 180° .
Soma das medidas dos ângulos 
externos de polígonos convexos
Observe como obter a soma das medidas dos ângulos externos de um quadri-
látero convexo e de um pentágono convexo por meio de recorte.
• Quadrilátero • Pentágono
 3 ⋅ 180° = 540° 
quantidade 
de triângulos 
obtidos
soma das medidas 
dos ângulos internos 
de um triângulo
Il
u
st
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s:
 
R
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 L
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• Ao término das expli-
cações teóricas dessa 
página, pergunte aos 
alunos como é pos-
sível determinar as 
medidas dos ângulos 
internos de um polígo-
no regular, sabendo 
a soma dessas medi-
das e a quantidade de 
lados. Espera-se que 
eles respondam que 
basta dividir a soma 
pela quantidade de 
ângulos (ou de lados), 
pois em polígonos re-
gulares as medidas 
dos ângulos internos 
são iguais. 
Instigue-os também a 
obter uma fórmula 
para de ter minar a 
medida dos ângulos 
internos ‰ de um po-
lígono regular qual-
quer, dada a quantida-
de n de lados, ou seja, 
 med (â) = 
180° (n − 2) 
 _________ n .
30
e
d
f
a
c
b
 31. Desenhe os polígonos indicados, decomponha cada um deles em triângulos 
e calcule a soma das medidas dos ângulos internos.
a ) Polígono convexo de 4 lados.
b ) Polígono convexo de 8 lados.
c ) Polígono convexo de 9 lados.
d ) Polígono convexo de 13 lados.
Assim, temos que a soma das medidas dos ângulos externos de um quadrilá-
tero convexo ou de um pentágono convexo é 360° .
A soma das medidas dos ângulos externos de um triângulo é 360° . Isso pode 
ser demonstrado da seguinte maneira.
• Considere o triângulo abaixo.
ângulos internos: ̂ a , ̂ b e ̂ c 
ângulos externos: ̂ d , ̂ e e ̂ f 
 Qual é a medida de cada ângulo externo de um retângulo?
A soma das medidas dos ângulos externos 
de qualquer polígono convexo é 360° .
Atividades Anote no caderno
O ângulo interno e o externo em cada vértice são suplementares, ou seja:
 med ( ̂ a ) + med ( ̂ d ) = 180° 
 med ( ̂ b ) + med ( ̂ e ) = 180° 
 med ( ̂ c ) + med ( ̂ f ) = 180° 
Assim:
 med ( ̂ a ) + med ( ̂ b ) + med ( ̂ c ) + med ( ̂ d ) + med ( ̂ e ) + med ( ̂ f ) = 3 ⋅ 180° = 540° 
Como a soma das medidas dos ângulos internos do triângulo é 180°, temos:
 med ( ̂ a ) + med ( ̂ b ) + med ( ̂ c ) 
 
 

 
180°
 + med ( ̂ d ) + med ( ̂ e ) + med ( ̂ f ) = 540° 
 180° + med ( ̂ d ) + med ( ̂ e ) + med ( ̂ f ) = 540° 
 180° − 180° + med ( ̂ d ) + med ( ̂ e ) + med ( ̂ f ) = 540° − 180° 
 med ( ̂ d ) + med ( ̂ e ) + med ( ̂ f ) = 360° 
Portanto, a soma das medidas dos ângulos externos de um triângulo, assim 
como a do quadrilátero convexo e a do pentágono convexo, também é 360°. 
De maneira parecida, é possível demonstrar que a soma das medidas dos ân-
gulos externos de qualquer polígono convexo é 360° .
90°
 360° 
 1 080° 
 1 260° 
 1 980° 
R
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n
a
ld
o
 
L
u
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n
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31
• Caso os alunos apre-
sentem dif iculdade 
em resolver a ativida-
de 35, proponha que, 
com base na medida 
de cada ângulo exter-
no, obtenham inicial-
mente a quantidade de 
lados do polígono que, 
por ser regular, tem as 
medidas desses ângu-
los iguais.
• Para a resolução da 
atividade 36 , assim 
como outras que apa-
recer ão pos ter ior-
mente nesse capítulo, 
solicite que os alunos 
escrevam inicialmente 
uma equação.
• Veja uma possível re-
solução do desaf io 
proposto na atividade 
39:
Sendo n a quantidade 
de lados do polígono 
convexo, temos:
 44 = 
n ⋅ (n − 3) 
 ________ 
2
 
n ⋅ (n − 3) = 88 
Por tentativas, temos 
que n = 11 . Assim, se-
gue que:
 S = (n − 2) ⋅ 180° =
= (11 − 2) ⋅ 180° = 1 620° 
31
A C
D
E
H
I
B
FG
150°
135°
145°
155°
120°145°
135°
150°
a
A
D
C B
x + 40°
x + 35°
x − 15°
2x
E F
G
H
I
J
4x + 25°
5x + 15°
105° − x
5x + 5°
4x − 5°
6x
x + 15°
47°
83°
123°
a
e
c
b
d
5
2
x
x + 16°
7
3
x + 60°
2x − 94°
65°
74°
105°
x
E
A
B
CD
F
3x + 25°
3x + 10° 5x − 10°
2x + 75°
4x − 10°
4x
a
e
c
b
df
 32. Determine a soma das medidas dos ân-
gulos internos e a quantidade de diago-
nais de cada polígono.
a ) 
 33. Qual é a medida do ângulo ̂ a no polígono 
a seguir?
c ) 
b ) d ) 
 34. Calcule a soma das medidas dos ângu-
los internos de um polígono regular de:
a ) 15 lados.
b ) 18 lados.
c ) 25 lados.
d ) 30 lados.
 35. Determine a quantidade de diagonais 
que partem de um único vértice de um 
polígono regular cuja medida de cada 
ângulo externo é:
a ) 40°. b ) 24°. c ) 18°.
 36. Determine a medida de cada ângulo 
externo desconhecido, no polígono a 
seguir.
b ) 
 41. No polígono a seguir, calcule o valor de 
x e determine a medida dos ângulos in-
dicados em verde.
 37. Realize os cálculos necessários e deter-
mine a medida de cada um dos ângulos 
internos dos polígonos.
a ) 
 38. Quantos lados tem um polígono con-
vexo cuja soma das medidas dos ângu-
los internos é:
a ) 2 160° ?
b ) 2 520° ?
c ) 3 060° ?
d ) 3 420° ?
 39. Qual é a soma das medidas dos ângulos 
internos de um polígono convexo que 
possui um total de 44 diagonais?
 40. Calcule a medida de cada ângulo externo 
do polígono a seguir.
 900° ; 
14 diagonais
 1 440° ; 
35 diagonais
 720° ; 
9 diagonais
 1 800° ; 
54 diagonais
125°
 2 340° 
 2 880° 
 4 140° 
 5 040° 
 med ( ̂ A ) = 100° ; 
 med ( ̂ B ) = 45° ; 
 med ( ̂ C ) = 120° ; 
 med ( ̂ D ) = 95° 
 med ( ̂ E ) = 150° ; 
 med ( ̂ F ) = 80° ; 
 med ( ̂ G ) = 130° ; 
 med ( ̂ H ) = 140° ; 
 med ( ̂ I ) = 95° ; 
 med ( ̂ J ) = 125° 
 med ( ̂ a ) = 97° ; med ( ̂ b ) = 105° ; med ( ̂ c ) = 57° ; 
 med ( ̂ d ) = 30° ; med ( ̂ e ) = 24° 
 1 620º 
 med ( ̂ a ) = 70° ; med ( ̂ b ) = 45° ; 
 med ( ̂ c ) = 60° ; med ( ̂ d ) = 65° ; 
 med ( ̂ e ) = 40° ; med ( ̂ f ) = 80° 
 x = 107° ; med ( ̂ A ) = 107° ; 
 med ( ̂ C ) = 120° ; 
 med ( ̂ E ) = 167° 
6 diagonais 12 diagonais 17 diagonais
14 lados 19 lados
16 lados 21 lados
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32
• A atividade 42 apre-
senta uma relação com 
o componente curricu-
lar Ciências, pois o es-
tudo dos polígonos é 
associado a elementos 
que compõem comuni-
dades biológicas, como 
a sociedade das abe-
lhas. Nessa aborda-
gem, mostra-se que os 
alvéolos dos favos são 
construídos com a base 
superior em formato 
hexagonal para arma-
zenar mais mel com 
menos quantidade de 
cera em suas “paredes”. 
Diga aos alunos que a 
abelha-rainha é ali-
mentada com uma ge-
leia real produzida pe-
las suas operárias e é a 
única fêmea fértil da 
colmeia, colocando de 
2 000 a 3 000 ovos por 
dia, que podem se tor-
nar rainhas apenas se 
estiverem na realeira 
(alvéolos de rainha) e 
nascerem primeiro, 
pois a primeira a nascer 
mata as demais, já que 
cada colmeia pode ter 
somente uma rainha. 
Relacionando saberes
• Explique aos alunos 
que a formação de um 
mosaico com polígonos 
regulares do mesmo 
tipo somente é possível 
em três opções: triân-
gulos equiláteros, qua-
drados e hexágonos 
regulares. 
32
120o
120o 120o
Matemática em destaque
 42. Na natureza podemos observar

Como calcular a medida de um ângulo externo de um polígono?

Como calcular o ângulo externo de um polígono irregular?

Qual a medida do ângulo externo de um polígono regular de 72 lados?

Qual é a medida de um ângulo externo de um polígono de 10 lados?