Qual desses números é irracional? 216−−−√3. −35. 2,6¯¯¯. 79. 26−−√.

Os números irracionais causaram grande inquietação nos matemáticos durante um longo período. Hoje já bem definido, conhecemos como um número irracional aquele cuja representação decimal é sempre uma dízima não periódica. A principal característica dos irracionais, e que os difere dos números racionais, é que eles não podem ser representados por meio de uma fração.

O estudo dos números irracionais foi aprofundado quando, ao calcular-se problemas envolvendo o teorema de Pitágoras, encontrava-se raízes não exatas. O ato de procurar solução para essas raízes não exatas tornou notável a existência das dízimas não periódicas, ou seja, de números cuja parte decimal é infinita e não possui uma sequência bem definida. Os principais números irracionais são as dízimas não periódicas, as raízes não exatas e o π.

Leia também: Raiz quadrada – caso de radiciação em que o índice do radical é 2

Tópicos deste artigo

• 1 - Conjunto dos números irracionais
• 2 - O que são os números irracionais?
• 3 - Número racional e irracional
• 4 - Operações com números irracionais
  • Adição e subtração
  • Multiplicação e divisão
• 5 - Exercícios resolvidos

Conjunto dos números irracionais

Antes do estudo dos números irracionais, eram estudados os conjuntos dos números naturais, inteiros e racionais. Ao se aprofundar no estudo no triângulo de retângulo, tornou-se notório que existem algumas raízes que não têm solução exata, em particular, foi possível perceber que soluções de raízes não exatas são números conhecidos como dízimas não periódicas.

Em meio a essa inquietação, muitos matemáticos tentaram demonstrar, sem sucesso, que as raízes não exatas são números racionais e que podem ser representados como uma fração, porém o que se percebeu foi que esses números não poderiam ser representados dessa forma. Como, até o momento, o conjunto dos números racionais não contemplava esses números, surgiu a necessidade da criação de um novo conjunto, conhecido como conjunto dos números irracionais.

Um número é irracional quando a sua representação decimal é uma dízima não periódica.

O que são os números irracionais?

Para ser um número irracional, ele tem que satisfazer a definição, ou seja, a sua representação decimal é uma dízima não periódica. A principal característica das dízimas não periódicas é a de não podem ser representadas por meio de uma fração, o que mostra que os números irracionais são o contrário dos racionais.

Os principais números com essa característica são as raízes não exatas.

Exemplos:

a) √2

b) √5

c) √7

d) √13 

Ao procurar soluções de raízes não exatas, ou seja, realizar a representação decimal desses números, sempre encontraremos uma dízima não periódica, o que faz com que esses números sejam elementos do conjunto dos irracionais.

Além das raízes não exatas, existem as dízimas não periódicas em si, por exemplo, se calcularmos as raízes não exatas, encontraremos uma dízima não periódica.

√2 = 1,41421356...

√5= 2,23606797...

Números irracionais são comumente representados por letras gregas, porque não é possível escrever todas as suas casas decimais.

O primeiro deles é o π (lê-se: pi), presente no calculo de área e perímetro de circunferências. Possui valor igual a 3,1415926535…

Além do π, outro número bastante comum é o ϕ (lê-se: fi). Ele é encontrado em problemas envolvendo a proporção áurea. Possui valor igual a 1,618033…

Veja também: Quais são os números primos?

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Número racional e irracional

Ao analisar os conjuntos numéricos, é importante diferenciar os números racionais e os números irracionais. A união desses dois conjuntos forma um dos conjuntos mais estudados na matemática, o conjunto dos reais, ou seja, o conjunto dos números reais é a junção dos números que podem ser representados como frações (racionais) com os números que não podem ser representados como frações (irracionais).

No conjunto dos números racionais, estão os inteiros, os naturais, os decimais exatos, e as dízimas periódicas.

Exemplos de números racionais:

-60 → número inteiro

2,5 → decimal exato

5,1111111… → dízima periódica

Já os números irracionais são as dízimas não periódicas, logo, não existe nenhum número que seja racional e irracional ao mesmo tempo.

Exemplo de números irracionais:

1,123149… → dízima não periódica

2,769235… → dízima não periódica

Operações com números irracionais

• Adição e subtração

A adição e a subtração de dois números irracionais geralmente é apenas representada, a menos que seja utilizada uma aproximação decimal desses números, por exemplo:

a) √6 + √5

b) √6 – √5

c) 1,414213… + 3,1415926535…

Não podemos somar ou subtrair os valores por causa dos radicais, então deixamos a operação apenas indicada.

Nas representações decimais, também não é possível realizar a soma exata, logo, para somar dois números irracionais, precisamos de uma aproximação racional, e essa representação é escolhida de acordo com a necessidade de precisão desses dados. Quanto mais casas decimais considerarmos, mais próximos do valor exato da soma ficaremos.

Observação:o conjunto dos números irracionais não é fechado para adição ou subtração, isso significa que a soma de dois números irracionais pode resultar em um número que não seja racional. Por exemplo, se calcularmos a diferença de um número irracional pelo seu oposto, temos que:

a) √2 – √2 = 0

b) π + (-π) = 0

Sabemos que 0 não é um número irracional.

• Multiplicação e divisão

A multiplicação e divisão de números irracionais pode ser feita caso a representação seja uma radiciação, porém, assim como a adição, na representação decimal, ou seja, multiplicar ou dividir duas dízimas, exige-se uma aproximação racional desse número.

a) √7 · √5 = √35

b) √32 : √2 = √16 = 4

Note também que, no exemplo b, 4 é um número racional, o que significa que a multiplicação e a divisão de dois números irracionais não são fechadas, ou seja, podem ter resultado racional.

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Analise os números a seguir:

I) 3,1415926535

II) 4,1234510….

III) 2π

IV) 1,123123123…

V) √36

VI) √12

São números irracionais:

A) Somente I, IV e V

B) Somente II, III e VI

C) Somente II, IV e VI

D) Somente I, II, III e VI

E) Somente III, IV, V e VI

Resolução

Alternativa B

I → o número é decimal exato, racional.

II → o número é uma dízima não periódica, irracional.

III → π é irracional, e o seu dobro, ou seja, 2π, também é irracional.

IV → o número é uma dízima periódica, racional.

V → raiz exata, racional.

VI → raiz não exata, irracional.

Questão 2 – Julgue as afirmativas a seguir:

I – O conjunto dos números reais é a união dos racionais e irracionais;

II – A soma de dois números irracionais pode ser um número racional;

III – As dízimas são números irracionais.

Analisando as afirmativas, podemos afirmar que:

A) Somente a afirmativa I é verdadeira.

B) Somente a afirmativa II é verdadeira.

C) Somente a afirmativa III é verdadeira.

D) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.

E) Todas as afirmativas são verdadeiras.

Resolução

Alternativa D

I → Verdadeira, pois a definição do conjunto dos números reais é a união entre os racionais e irracionais.

II → Verdadeira, ao realizarmos a soma de um número pelo oposto dele, teremos como resultado o número 0, que é racional.

III → Falsa, as dízimas não periódicas são irracionais.

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática