Equações de diferenças lineares com coeficientes constantes

Teoria

Introdução:

Faaaaala aí! Vamos dar prosseguimento ao estudo das EDO’s. Você lembra que já vimos como resolver EDO’s de 2ª ordem com coeficientes constantes homogênea? Se não, é só dar uma olhadinha na teoria, que tá tudo bem explicadinho pra você arrasar nessa teoria aqui também! Antes, estávamos tratando de equações desse tipo:

y ' ' x - 5 y ' x + 6 y x = 0

Beleza, agora imagina que tenhamos isso:

y ' ' ' x - 3 y ' ' x + 4 y ' x + 2 y x = 0

A única diferença é que temos derivadas de ordem maior que dois envolvidas.

Como que faremos pra resolver isso? Você vai ver que é muito parecido com EDO de 2 ª ordem.

Olha mais alguns exemplos do que vamos estudar nessa teoria:

y ( 4 ) + 4 y ' ' ' - 2 y ' ' + 7 y ' + y = 0

y ( 5 ) - y 4 + 3 y ' ' ' - 5 y ' ' + y ' - 3 y = 0

y ' ' ' - 6 y ' ' + 9 y ' + 4 y = 0

Percebeu alguma semelhança em todas elas? Todas estão igualadas a ZERO e os coeficientes que acompanham y e suas derivadas são NÚMEROS. Por isso, é chama de EDO Superior Homogênea com Coeficientes Constantes.

De maneira geral, as EDOs superiores homogêneas têm a seguinte cara:

a n y ( n ) + a n - 1 y ( n - 1 ) + … + a 3 y ' ' ' + a 2 y ' ' + a 1 y ' + a 0 y = 0

Com todos  a 0 , a 1 , <svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="8.23ex" height="2.009ex" style="vertical-align:-0.671ex" viewbox="0 -576.1 3543.4 865.1" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> a 2 … a n  constantes.</p><p>Como que faremos pra resolver isso? Você vai ver que é muito parecido com EDO de <svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.579ex" height="3.343ex" style="vertical-align:-1.171ex" viewbox="0 -934.9 1110.5 1439.2" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> 2 ª ordem.</p><h2 id="encontrando-a-equacao-auxiliar-2">Encontrando a equação auxiliar:</h2><p>Pra começar, nada melhor que um exemplo né? Dá uma olhada:</p><p><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="20.165ex" height="3.009ex" style="vertical-align:-0.671ex" viewbox="0 -1006.6 8682 1295.7" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> y ' ' ' - 5 y ' ' + 6 y ' = 0

Bom, a ideia aqui é a mesma de EDO de 2 ª ordem, que seria pensar numa função cujas derivadas sejam bem parecidas com a própria função! Então, chutaremos de novo y = e r x

Substituindo na EDO:

e r x ' ' ' - 5 e r x ' ' + 6 e r x ' = 0

r 3 e r x - 5 r 2 e r x + 6 r e r x = 0

e r x r 3 - 5 r 2 + 6 r = 0

Maneiro! Temos um produto de duas parcelas sendo zero. Isso significa que ou uma é zero, ou a outra é. Porém, e r x nunca é zero. Logo:

r 3 - 5 r 2 + 6 r = 0

Aeeeee, chegamos num polinômio! Bora resolvê-lo :)

r r 2 - 5 r + 6 = 0

r 1 = 0     o u     r 2 - 5 r + 6 = 0

r 2 = 2   e   r 3 = 3

Encontramos nossas três raízes. Vamos escrever as soluções assim, ó:

r 1 = 0 → y 1 = c 1 e 0 x

r 2 = 2 → y 2 = c 2 e 2 x

r 3 = 3 → y 3 = c 3 e 3 x

Podemos agora escrever a solução geral, que vai ser sempre a soma de todos os y k :

y x = y 1 + y 2 + y 3

y x = c 1 e 0 x + c 2 e 2 x + c 3 e 3 x

y x = c 1 + c 2 e 2 x + c 3 e 3 x

MUITO SHOW! Vamos generalizar?

Dada uma EDO desse tipo:

a n y ( n ) + a n - 1 y ( n - 1 ) + … + a 3 y ' ' ' + a 2 y ' ' + a 1 y ' + a 0 y = 0

Montaremos a equação auxiliar:

a n r n + a n - 1 r n - 1 + … + a 3 r 3 + a 2 r 2 + a 1 r + a 0 = 0

Encontraremos as raízes da equação e para cada uma delas teremos um y k . Por fim, escrevemos a solução geral:

y x = y 1 + y 2 + y 3 + … + y n - 1 + y n

Beleza... Agora preciso te dar uma notícia meio chata. Quando temos uma equação de grau  n devemos ter <svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.395ex" height="1.676ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -576.1 600.5 721.6" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> n  raízes, o detalhe que não necessariamente temos <svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.395ex" height="1.676ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -576.1 600.5 721.6" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> n  raízes diferentes, basta que as multiplicidades das raízes somem <svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.395ex" height="1.676ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -576.1 600.5 721.6" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> n . Como nós estamos tratando de polinômios, temos que ter em mente que algumas raízes podem ter multiplicidade maior que um (reais ou complexas) :/ Vamos ver cada caso?</p><p>Bom, se tem multiplicidade um, temos que ver o caso em que ela é real e o caso em que ela é complexa:</p><ul> <li>Se a raiz for real, a solução é dada por</li> <p><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="11.182ex" height="2.843ex" style="vertical-align:-0.838ex" viewbox="0 -863.1 4814.5 1223.9" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> y 1 = c 1 e r 1 x

r = α + β i

Quando temos uma raiz complexa dessa forma podemos garantir que vamos ter uma outra raiz complexa que vai ser

r = α - β i

E a solução dessas duas juntas vai ser

y 1 + y 2 = e α x c 1 cos ⁡ β x + c 2 s e n β x

Olha um exemplo com raízes complexas:

y ' ' ' - y ' ' + y ' - y = 0

Começamos com a equação auxiliar

r 3 - r 2 + r - 1 = 0

r 2 r - 1 + r - 1 = 0

Colocando r - 1 em evidência:

r - 1 r 2 + 1 = 0

Isso nos dá que

r = 1   o u   r = ± i

Todas essas raízes apareceram uma vez só, então tem multiplicidade 1.

Para r = 1, que é uma raiz real, temos

y 1 = c 1 e x

Para r = ± i, que é complexa, temos

y 2 + y 3 = e 0 x c 1 cos ⁡ x + c 2 s e n x

y 2 + y 3 = c 1 cos ⁡ x + c 2 s e n x

Então a solução geral vai ser:

y x = y 1 + y 2 + y 3

y x = c 1 e x + c 1 cos ⁡ x + c 2 s e n x

Raízes com multiplicidade maior que 1:

Imagina que temos duas raízes r 1 e r 2 iguais (chamaremos ambas de r)! A solução de cada uma será:

y 1 = c 1 e r x

y 2 = c 2 x e r x

Entendeu a ideia? Você vai multiplicar a solução pela variável até que ela fique diferente das outras. E se forem quatro raízes iguais?

y 1 = c 1 e r x

y 2 = c 2 x e r x

y 3 = c 3 x 2 e r x

y 4 = c 4 x 3 e r x

Sacou? Olha um exemplo:

y ( 6 ) + 8 y ( 4 ) + 16 y ' ' = 0

Começamos com a equação auxiliar:

r 6 + 8 r 4 + 16 r 2 = 0

r 2 r 4 + 8 r 2 + 16 = 0

Mas repara que r 4 + 8 r 2 + 16 = r 2 + 4 2 , então

r 2 r 2 + 4 2 = 0

Isso nos diz que:

r 2 = 0     o u     r 2 + 4 2 = 0

Da primeira temos r = ± 0. Esse ± só tá aí pra você ver que são duas raízes iguais.

Da segunda, tiramos que

r 2 + 4 = ± 0

Isso é só pra você ver que:

r 2 + 4 = 0                         r 2 + 4 = 0

O que nos dá

r = ± 2 i           e             r = ± 2 i

E as nossas raízes são

0,0 , 2 i , - 2 i , 2 i , - 2 i

Repara que tem uma galera aí com multiplicidade 2. Agora vamos escrever a solução. Para r = 0:

y 1 = c 1 e 0 x = c 1

y 2 = c 2 x e 0 x = c 2 x

Para r = ± 2 i:

y 3 + y 4 = e 0 x c 3 cos ⁡ 2 x + c 4 s e n 2 x = c 3 cos ⁡ 2 x + c 4 s e n 2 x

y 5 + y 6 = c 5 cos ⁡ 2 x + c 6 s e n 2 x x

Então a solução geral vai ser:

y x = y 1 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 + y 6

y x = c 1 + c 2 x + c 3 cos ⁡ 2 x + c 4 s e n 2 x + c 5 cos ⁡ 2 x + c 6 s e n 2 x x

Dá trabalho, mas praticando tudo dá certo!

Tá... Mas e na hora de encontrar as raízes, como faço?

Relaxa, vou te ensinar um método muito bom.

Método de Briot-Ruffini

Exemplo: Vamos encontrar a solução geral da EDO abaixo.

y 5 + y 4 - 2 y ' ' ' - 2 y ' ' + y ' + y = 0

A equação auxiliar é:

r 5 + r 4 - 2 r 3 - 2 r 2 + r + 1 = 0

Como encontrar as raízes dessa equação?!

O detalhe nesse método é que você só pode usá-lo se você conhecer uma raiz. Então, o que a gente faz é ver os candidatos a serem raízes.

Qual o coeficiente do maior grau dessa equação? Neste caso vai ser  1, vamos chamar isso de

a = 1

Qual o valor do cara sem a variável  r? Vai ser <svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.162ex" height="2.176ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -791.3 500.5 936.9" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> 1 , vamos chamar isso de</p><p><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.258ex" height="2.176ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -791.3 2264.1 936.9" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> b = 1

As possíveis raízes vão ser os divisores de  b sobre os divisores de <svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.23ex" height="1.676ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -576.1 529.5 721.6" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> a , lembrando que para cada possibilidade vamos ter o cara podendo ser positivo ou negativo.</p><p>Nesse caso, os divisores de <svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="0.998ex" height="2.176ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -791.3 429.5 936.9" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> b  são <svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.971ex" height="2.176ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -791.3 1279 936.9" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> ± 1 . Os divisores de <svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.23ex" height="1.676ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -576.1 529.5 721.6" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> a  são <svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.971ex" height="2.176ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -791.3 1279 936.9" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> ± 1 . Logo, as possíveis raízes são</p><p><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="7.118ex" height="2.176ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -791.3 3064.6 936.9" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> r = ± 1

Então temos que testar essas raízes na equação, como fazemos isso? É só substituir o valor na equação e ver se vai dar  0. Se der <svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.162ex" height="2.176ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -791.3 500.5 936.9" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> 0 , o valor de <svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.049ex" height="1.676ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -576.1 451.5 721.6" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> r  é raiz, e se não der <svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.162ex" height="2.176ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -791.3 500.5 936.9" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> 0 , ele não é raiz.</p><p>Vamos começar testando <svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.31ex" height="2.176ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -791.3 2286.1 936.9" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> r = 1 </p><p><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="25.438ex" height="2.343ex" style="vertical-align:-0.505ex" viewbox="0 -791.3 10952.3 1008.6" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> 1 + 1 - 2 - 2 + 1 + 1 = 0

2 - 2 - 2 + 2 = 0

0 = 0

Portanto, r 1 = 1 é raiz.

Agora que temos uma raiz dessa equação, podemos aplicar o método de Briot-Ruffini para diminuir essa equação em  1 grau. Você lembra como é esse método? Primeiro vamos colocar a nossa equação aqui embaixo:</p><p><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="31.41ex" height="2.843ex" style="vertical-align:-0.505ex" viewbox="0 -1006.6 13523.9 1223.9" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> r 5 + r 4 - 2 r 3 - 2 r 2 + r + 1 = 0 </p><p>A primeira coisa a fazer é escrever essa equação completa, colocando <svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.162ex" height="2.176ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -791.3 500.5 936.9" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> 0  vezes o <svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.049ex" height="1.676ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -576.1 451.5 721.6" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> r  elevado aos graus que não aparecem. No nosso caso, todos os graus estão presente na equação.</p><p>Agora montamos o seguinte quadrinho:</p><p><img width="217" height="69" alt="" src="https://arquivos.respondeai.com.br/seo-mirror/theory/2022/ada3a1e0-a824-4b98-a104-b1763bc201b4.webp"></p><p>No canto superior esquerdo colocamos os coeficientes da nossa equação, no canto superior direito colocamos o valor na nossa raiz.</p><p>Agora nós fazemos os seguintes passos. Primeiro descemos o primeiro coeficiente, que vai ficar:</p><p><img loading="lazy" width="224" height="71" alt="" src="https://arquivos.respondeai.com.br/seo-mirror/theory/2022/a93ce776-50cf-4370-9bca-0cfbc1bde446.webp"></p><p>O próximo passo é multiplicar esse número que baixamos pelo número ali no canto superior direito, e depois somar com o próximo coeficiente.</p><p>Nesse caso fazemos</p><p><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="11.236ex" height="2.343ex" style="vertical-align:-0.505ex" viewbox="0 -791.3 4837.5 1008.6" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> 1.1 + 1 = 2 </p><p>Esse primeiro <svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.162ex" height="2.176ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -791.3 500.5 936.9" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> 1  nessa equação imediatamente acima é o coeficiente, o segundo <svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.162ex" height="2.176ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -791.3 500.5 936.9" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> 1  é o número do canto superior direito e aquele outro <svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.162ex" height="2.176ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -791.3 500.5 936.9" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> 1  é o próximo coeficiente.</p><p>Fazendo essa conta chegamos ao valor <svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.162ex" height="2.176ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -791.3 500.5 936.9" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> 2 , colocamos esse valor embaixo do coeficiente <svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.162ex" height="2.176ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -791.3 500.5 936.9" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> 1  , ficando:</p><p><img loading="lazy" width="224" height="70" alt="" src="https://arquivos.respondeai.com.br/seo-mirror/theory/2022/ca39bfe6-e4c5-40d5-a764-30a13ed19d9d.webp"></p><p>Agora é só repetir, a nossa conta dessa vez vai ficar:</p><p><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="11.236ex" height="2.343ex" style="vertical-align:-0.505ex" viewbox="0 -791.3 4837.5 1008.6" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> 2.1 - 2 = 0 </p><p><img loading="lazy" width="213" height="75" alt="" src="https://arquivos.respondeai.com.br/seo-mirror/theory/2022/eeefca69-8428-4057-8e97-86a75d866b56.webp"></p><p>Agora é só repetir, a nossa conta dessa vez vai ficar:</p><p><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="13.044ex" height="2.343ex" style="vertical-align:-0.505ex" viewbox="0 -791.3 5616 1008.6" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> 0.1 - 2 = - 2

Agora é só repetir, a nossa conta dessa vez vai ficar:

- 2.1 + 1 = - 1

Agora é só repetir, a nossa conta dessa vez vai ficar:

- 1.1 + 1 = 0

Como aquele último cara deu  0, a nossa conta está certinha. Se não der <svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.162ex" height="2.176ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -791.3 500.5 936.9" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> 0  alguma conta está errada.</p><p>A nossa nova equação vai ser aquela que tem os coeficientes de baixo, tirando aquele <svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.162ex" height="2.176ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -791.3 500.5 936.9" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> 0 , começando com um grau a menos do que o anterior. Neste caso, vamos ter:</p><p><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="27.63ex" height="2.843ex" style="vertical-align:-0.505ex" viewbox="0 -1006.6 11896.1 1223.9" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> r 4 + 2 r 3 + 0 r 2 - 2 r - 1 = 0

r 4 + 2 r 3 - 2 r - 1 = 0

Se você repetir todo esse processo a quantidade de vezes necessárias, vai encontrar as raízes que faltam. Eu já fiz e te digo que são:

r 1 = 1

r 2 = 1

r 3 = - 1

r 4 = - 1

r 5 = - 1

Beleza, agora que temos todas as raízes podemos achar a solução geral dessa EDO!

Repare que temos uma raiz com multiplicidade  3 e outra com multiplicidade <svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.162ex" height="2.176ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -791.3 500.5 936.9" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> 2 , então a solução para cada raiz vai ser:</p><p><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="10.845ex" height="2.843ex" style="vertical-align:-0.838ex" viewbox="0 -863.1 4669.2 1223.9" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> y 1 =   C 1 e x

y 2 =   C 2 x e x

y 3 =   C 3 e - x

y 4 =   C 4 x e - x

y 5 =   C 5 x 2 e - x

E a nossa solução geral vai ser:

y x = y 1 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5

Que vai ficar

y x = C 1 e x + C 2 x e x + C 3 e - x + C 4 x e - x + C 5 x 2 e - x

Finalmente matamos essa questão!!!

Partiu exercícios!

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

UFF - Cálculo IIA - P2 Sérgio Licanic 2014.1 – 5

Determine a solução geral da equação diferencial

y ' ' ' + 9 y ' ' + 24 y ' - 34 y = 0

Passo 1

Vamos fazer o mesmo que fazíamos para equações de ordem 2. Resolver a equação característica.

r 3 + 9 r 2 + 24 r - 34 = 0

Temos que tentar achar uma soluçaõ e reduzir o grau da equação. Somando os coeficientes percebemos que o resultado é zero, isso significa que o número 1 é solução da equação. Logo ela pode ser reescrita como

r - 1 r 2 + 10 r + 34 = 0

Aqui vamos ter

r - 1 = 0         o u         r 2 + 10 r + 34 = 0

Então

r 1 = 1

Vamos as outras raízes

r 2 + 10 r + 34 = 0

r = - 10 ± 10 2 - 4 1 34 2 = - 10 ± 100 - 136 2 = - 10 ± - 36 2 = - 10 ± 6 i 2 = - 5 ± 3 i

Passo 2

Seguindo a analogia das EDO’s de ordem 2 a solução será

y = A e x + e - 5 x B cos ⁡ 3 x + C sen ⁡ 3 x

E é exatamente assim que fazemos com EDO’s lineares de coeficientes constantes com ordem maior do que dois.

Resposta

y = A e x + e - 5 x B cos ⁡ 3 x + C sen ⁡ 3 x

Exercício Resolvido #2

UERJ - Cálculo 3 - Lista 4 Fernando Lopes - 2b

Resolva a seguinte equação:

d 4 y d x 4 - 13 d 2 y d x 2 + 36 y = 0

Passo 1

Bom, na nossa teoria vimos que a equação característica será:

r 4 - 13 r 2 + 36 = 0 Essa é uma equação biquadrada a solução é sempre criar variável chamada: w = r 2 e substituir ela nessa equação:

w 2 - 13 w + 36 = 0

Passo 2

Encontrar a , b e c :

w 2 - 13 w + 36 = 0

a = 1 b = - 13 c = 36

Passo 3

Verificar discriminante: Δ > 0 , Δ = 0 ou Δ < 0 ?

Δ = b 2 - 4 a c

Δ = - 13 2 - 4 1 ( 36 )

⇒ Δ = 25

⇒ Δ > 0

Passo 4

Encontrar raízes da equação auxiliar:

w 2 - 13 w + 36 = 0

Cálculo das raízes:

w = - b ± Δ 2 a = - ( - 13 ) ± 25 2 ( 1 )

⇒ w 1 = 13 2 + 5 2 = 9 w 2 = 13 2 - 5 2 = 4

Opa, mas então temos que:

r 1,2 2 = w 1 → r 1 = 3 r 2 = - 3

r 3,4 2 = w 1 → r 3 = 2 r 4 = - 2

Passo 5

Po, se antes com duas raízes eram duas funções exponenciais, agora que temos 4 raízes de multiplicidade 1 com determinante maior que zero, adivinha?? Vão ser a soma de 4 exponenciais!

Encontrar a solução:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x + c 3 e r 3 x + c 4 e r 4 x

Substituindo os valores de r :

y x = c 1 e 3 x + c 2 e - 3 x + c 3 e 2 x + c 4 e - 2 x

Resposta

y x = c 1 e 3 x + c 2 e - 3 x + c 3 e 2 x + c 4 e - 2 x

Exercício Resolvido #3

William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Equações diferenciais elementares e problemas de contorno, 8ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2010, pp. 125, exercício 17

Encontre a solução geral da equação diferencial dada.

2 y ' ' ' - 4 y ' ' - 2 y ' + 4 y = 0

Passo 1

Bem aqui temos uma EDO homogênea, isso porque temos a EDO igual a 0 .

A primeira coisa a fazer é achar a equação característica

2 r 3 - 4 r 2 - 2 r + 4 = 0

Primeiro vamos dividir todo mundo por 2 para diminuir nossas contas

r 3 - 2 r 2 - r + 2 = 0

Agora precisamos achar as soluções de equação. A primeira coisa que fazemos numa equação assim é ver se temos algum r para colocar em evidência, e neste caso não temos isso

Temos que resolver

r 3 - 2 r 2 - r + 2 = 0

Passo 2

Vamos ver algumas dicas de como resolver uma equação de grau maior que 2 . A ideia é ir achando as raízes aos poucos e ir diminuindo o grau dessa equação.

Quando temos uma equação assim temos alguns candidatos a raízes dessa parada.

r 3 - 2 r 2 - r + 2 = 0

Qual o coeficiente do maior grau dessa equação? Neste caso vai ser 1 , vamos chamar isso de a

a = 1

Qual o valor do cara sem a variável r ? Vai ser 2 , vamos chamar isso de b

b = 2

As possíveis raízes vão ser os divisores de b sobre os divisores de a , lembrando que para cada possibilidade vamos ter o cara podendo ser positivo ou negativo.

Os divisores de a são ± 1 e os divisores de b são ± 1 e ± 2 , assim as possíveis raízes vão ser

r = ± 1 , ± 2

Então temos que testar essas duas raízes na equação, como fazemos isso? É só substituir o valor na equação e ver se vai dar 0 , se der 0 o valor de r é raiz, se não der 0 ele não é raiz.

Vamos começar testando

r = - 1

Substituindo na equação vamos ter

( - 1 ) 3 - 2 . - 1 2 - ( - 1 ) + 2 =

- 1 - 2 + 1 + 2 =

0

Como deu 0 , r = - 1 é uma raiz dessa equação. Então vamos ter

r 1 = - 1

Passo 3

Agora que temos uma raiz dessa equação podemos aplicar o método de briot-ruffini para diminuir essa equação em 1 grau. Você lembra como é esse método? Primeiro vamos colocar a nossa equação aqui embaixo

r 3 - 2 r 2 - r + 2 = 0

A primeira coisa a fazer é escrever essa equação completa, colocando 0 vezes o r elevado aos graus que não aparecem, neste caso a equação já está completa.

Agora montamos o seguinte quadrinho

No canto superior esquerdo colocamos os coeficientes da nossa equação, no canto superior direito colocamos o valor na nossa raiz.

Agora nós fazemos os seguintes passos. Primeiro descemos o primeiro coeficiente, que vai ficar

O próximo passo é multiplicar esse número que baixamos pelo número ali no canto superior direito, e depois somar com o próximo coeficiente.

Nesse caso fazemos

1 . - 1 + - 2 = - 1 - 2 = - 3

Esse primeiro 1 é o coeficiente, o segundo - 1 é o número no canto superior direito e aquele - 2 é o próximo coeficiente.

Vamos achar - 3 , colocamos esse valor embaixo do coeficiente - 2 , ficando

Agora é só repetir, a nossa conta dessa vez vai ficar

- 3 . - 1 + - 1 = 3 - 1 = 2

E vamos ter

Agora é só repetir, a nossa conta dessa vez vai ficar

2 . - 1 + 2 = - 2 + 2 = 0

Como aquele último cara deu 0 a nossa conta está certinha, se não der 0 alguma conta está errada.

A nossa nova equação vai ser aquela que tem os coeficientes de baixo, tirando aquele 0 , começando com um grau a menor que o anterior, neste caso vamos ter

x 2 - 3 x + 2 = 0

Como achamos uma equação de grau 2 podemos fazer como fazemos normalmente. Se essa equação tivesse grau maior que 2 era só fazer tudo que acabamos de fazer de novo para diminuir o grau dessa equação

Passo 4

A nossa equação vai ser

r 2 - 3 r + 2 = 0

r 2 = - - 3 + - 3 2 - 4.2 . 1 2.1 = 3 + 9 - 8 2 = 3 + 1 2 = 3 + 1 2 = 4 2 = 2

r 3 = - - 3 - - 3 2 - 4.2 . 1 2.1 = 3 - 9 - 8 2 = 3 - 1 2 = 3 - 1 2 = 2 2 = 1

Então temos todas as raízes agora, vamos escrever essas raízes aqui

r 1 = - 1

r 2 = 2

r 3 = 1

Passo 5

Beleza agora que temos todas as raízes podemos achar a solução geral dessa EDO.

Todas as nossas raízes tem multiplicidade 1 então nossas soluções vão ser

y 1 = C 1 e - x

y 2 = C 2 e 2 x

y 3 = C 3 e x

E a nossa solução geral vai ser

y = y 1 + y 2 + y 3

Que vai ficar

y = C 1 e - x + C 2 e 2 x + C 3 e x

Resposta

y = C 1 e - x + C 2 e 2 x + C 3 e x

Exercício Resolvido #4

UERJ - Cálculo 3 - Lista 4 Fernando Lopes - 2e

Exercício nº 2 letra e lista 6 de Cálculo III – IME - UERJ – Prof. Fernando Lopes C. -2014

Encontre a solução do problema de valor inicial abaixo:

d 3 y d x 3 - 4 d 2 y d x 2 + 5 d y d x = 0

Passo 1

Temos aqui um problema que envolve uma derivada de 3 ª  ordem:

d 3 y d x 3 - 4 d 2 y d x 2 + 5 d y d x = 0

Só que conseguimos melhorar nossa situação usando uma parada muito útil! Vamos usar a substituição simples de início:

w = d y d x

-Substituindo:

w ' ' - 4 w ' + 5 w = 0

Eita, isso é uma EDO de segunda ordem homogênea, no estilão que costumamos resolver!

Temos, então

r 2 - 4 r + 5 = 0

Passo 2

Verificar discriminante: Δ > 0, Δ = 0 ou Δ < 0?

Δ = b 2 - 4 a c

Δ = - 4 2 - 4 1 ( 5 )

⇒ Δ = - 4

⇒ Δ < 0

Passo 3

Encontrar raízes da equação auxiliar:

r 2 - 4 r + 5 = 0

Cálculo das raízes:

w = - b ± Δ 2 a = - ( - 4 ) ± i 4 2 ( 1 )

⇒ w 1 = 2 + i w 2 = 2 - i

Passo 4

Encontrar a solução:

w x = e 2 x c 1 cos ⁡ x + c 2 sen ⁡ - x

Mas sabemos que

w = d y d x

Logo:

d y d x = e 2 x c 1 cos ⁡ x + c 2 sen ⁡ - x

Uma Edo separável!!

d y = ∫ e 2 x c 1 cos ⁡ x + c 2 sen ⁡ - x d x

y = ∫ e 2 x c 1 cos ⁡ x + c 2 sen ⁡ - x d x + c 3 y = c 1 ∫ e 2 x cos ⁡ ( x ) d x + c 2 ∫ e 2 x sen ⁡ ( - x ) d x + c 3

Como resolver essa integral??

∫ e 2 x cos ⁡ ( x ) d x

Tem que fazer duas integrações por partes:

u = e 2 x →     d u = 2 e 2 x d x

d v = cos ⁡ ( x ) d x → v = sen ⁡ ( x )

∫ e 2 x cos ⁡ ( x ) d x = e 2 x sen ⁡ ( x ) - 2 ∫ sen ⁡ x e 2 x   d x

E novamente:

u = e 2 x →     d u = 2 e 2 x d x

d v = sen ⁡ ( x ) d x → v = - cos ⁡ ( x )

∫ e 2 x cos ⁡ ( x ) d x = e 2 x sen ⁡ ( x ) - 2 - e 2 x cos ⁡ x + 2 ∫ e 2 x cos ⁡ x d x

Notou que as duas integrais são iguais?! Pois é! Vamos ajeitar essa equação!

∫ e 2 x cos ⁡ ( x ) d x = e 2 x sen ⁡ x + 2 cos ⁡ x - 4 ∫ e 2 x cos ⁡ ( x ) d x

Passando a integral pro lado esquerdo: 5 ∫ e 2 x cos ⁡ ( x ) d x = e 2 x sen ⁡ x + 2 cos ⁡ x ∫ e 2 x cos ⁡ ( x ) d x = e 2 x sen ⁡ x + 2 cos ⁡ x 5

A outra integral é exatamente o mesmo procedimento para resolver! Essa dará:

∫ e 2 x sen ⁡ ( - x ) d x = e 2 x - 2 sen ⁡ x + cos ⁡ x 5

Logo finalmente:

y = c 1 ∫ e 2 x cos ⁡ x d x + c 2 ∫ e 2 x sen ⁡ - x d x + c 3 y = c 1 e 2 x sen ⁡ x + 2 cos ⁡ x 5 + c 2 e 2 x - 2 sen ⁡ x + cos ⁡ x 5 + c 3 y = e 2 x c 1 - 2 c 2 5 sen ⁡ ( x ) + e 2 x 2 c 1 + c 2 5 cos ⁡ ( x ) + c 3 Não importa muito como ficam as constantes que multiplicam o seno e o cosseno, porque elas são determinadas pelas condições iniciais, assim podemos trocar isso por outra constante:

y = k 1 e 2 x sen ⁡ ( x ) + k 2 e 2 x cos ⁡ ( x ) + c 3

Outro exercício bem diferente, né? Bastante trabalhoso por causa das integrais, mas foi um ótimo treino, você está vendo tudo quanto é tipo de exercício diferente!

Resposta

y = k 1 e 2 x sen ⁡ ( x ) + k 2 e 2 x cos ⁡ ( x ) + c 3

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