Qual é o rendimento de R$ 10000 em quatro meses a uma taxa de juros simples de 14% ao ano?

Ensino Fundamental, M�dio e Superior no Brasil

Matem�tica Financeira

Curso de Matem�tica Financeira

Ulysses Sodr�

Material desta p�gina

1 Elementos b�sicos em Matem�tica Financeira
2 Compatibilidade dos dados
3 Juros simples
4 Montante simples
5 Fluxo de caixa
6 Juros compostos
7 Montante composto
8 Fator de Acumula��o de Capital
9 Fator de Valor Atual
10 C�lculo de juros Compostos
11 Taxas
12 Taxa Nominal
13 Taxa Efetiva
14 Taxa Real
15 Taxas equivalentes
16 Descontos
17 Tipos de descontos
18 Financiamento pelo Sistema Price

1 Elementos b�sicos em Matem�tica Financeira

A Matem�tica Financeira � uma ferramenta �til na an�lise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. A id�ia b�sica � simplificar a opera��o financeira a um Fluxo de Caixa e usar alguns procedimentos matem�ticos.

Capital: O Capital � o valor aplicado atrav�s de alguma opera��o financeira. Tamb�m conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em l�ngua inglesa, usa-se Present Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla $PV$.

Juros: Juros representam a remunera��o do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo os regimes: simples ou compostos, ou at� mesmo, com algumas condi��es mistas.

Regime	Processo de funcionamento
Simples	Somente o principal rende juros.
Compostos	Ap�s cada per�odo, os juros s�o incorporados
	ao Capital, proporcionando juros sobre juros.

Nota��es comuns que s�o utilizadas neste material

S�mbolo	Representa��o
C	Capital
n	n�mero de per�odos
j	juros simples decorridos n per�odos
J	juros compostos decorridos n per�odos
r	taxa percentual de juros
i	taxa unit�ria de juros (i=r/100)
P	Principal ou valor atual
M	Montante de capitaliza��o simples
S	Montante de capitaliza��o composta

2 Compatibilidade dos dados

Se a taxa de juros for mensal, trimestral ou anual, os per�odos devem ser respectivamente, mensais, trimestrais ou anuais, de modo que os conceitos de taxas de juros e per�odos sejam compat�veis, coerentes ou homog�neos. Situa��es onde isto n�o ocorre, ser�o estudadas � parte e dever�o ser feitas convers�es de unidades.

Exemplo: Na f�rmula

\[F(i,n) = 1+in\]

a taxa unit�ria de juros $i$ deve estar indicada na mesma unidade de tempo que o n�mero de per�odos $n$, ou seja, se a taxa � $i=0,05$ ao m�s, ent�o $n$ deve ser um n�mero em meses.

3 Juros simples

Se $n$ � o numero de periodos, $i$ � a taxa unit�ria ao per�odo e $P$ � o valor principal, ent�o os juros simples s�o calculados por:

\[j = P i n\]

Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos � taxa de $14\%$ ao ano s�o dados por:

\[j = 1.250,00{\times}0,14{\times}4 = 700,00\]

Se a taxa ao per�odo � indicada percentualmente, substituimos $i$ por $r/100$ e obtemos a f�rmula:

\[j = \frac{P r n}{100}\]

Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital $P=1.250,00$ durante 4 anos � taxa de $14\%$ ao ano s�o dados por:

\[j = \frac{1.250,00{\times}14{\times}4}{100} = 700,00\]

Se a taxa � $r\%$ ao m�s, usamos $m$ como o n�mero de meses e a f�rmula:

\[j = \frac{P r m}{100}\]

Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos (48 meses) � taxa de $2\%$ ao m�s s�o dados por:

\[j = \frac{1.250,00{\times}2{\times}48}{100} = 1.200,00\]

Se a taxa � $r\%$ ao dia, usamos $d$ como o n�mero de dias para obter os juros exatos (n�mero exato de dias) ou comerciais simples com a f�rmula:

\[j = \frac{P r d}{100}\]

Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 6 meses (180 dias) � taxa de $0,02\%$ ao dia s�o dados por:

\[j = \frac{1.250,00{\times}0,02{\times}180}{100} = 45,00\]

Exemplo: Os juros simples exatos obtidos por um capital P=1.250,00 durante os 6 primeiros meses do ano de 1999 (181 dias), � taxa de $0,2\%$ ao dia, s�o dados por:

\[j = \frac{1.250,00{\times}0,2{\times}181}{100} = 452,50\]

4 Montante simples

Montante � a soma do Capital com os juros. O montante tamb�m � conhecido como Valor Futuro. Em ingl�s, usa-se Future Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla $FV$. O montante � obtido por uma das f�rmulas:

\[M = P+j = P(1+in)\]

Exemplo: Se a taxa de uma aplica��o � de $150\%$ ao ano, quantos meses s�o necess�rios para dobrar um capital aplicado atrav�s de capitaliza��o simples?

Objetivo: $M=2P$
Dados: $i=150/100=1,5$.
F�rmula: $M=P(1+in)$

Desenvolvimento: Como $2P=P(1+1,5 n)$, ent�o $2=1+1,5 n$, logo $n=2/3$ de um ano = 8 meses.

Exemplo: Qual � o valor dos juros simples pagos � taxa $i=100\%$ ao ano se o valor principal � $P=1.000,00$ e a d�vida foi contra�da no dia 10 de janeiro, sendo que deve ser paga no dia 12 de abril do mesmo ano?

Contagem do tempo:

Per�odo	No. de dias
De 10/01 at� 31/01	21 dias
De 01/02 at� 28/02	28 dias
De 01/03 at� 31/03	31 dias
De 01/04 at� 12/04	12 dias
Total	92 dias

F�rmula para o c�lculo dos juros exatos:

\[j = \frac{P r (d/365)}{100}\]

C�lculo:

\[j = \frac{1000{\times}100{\times}92/365}{100} = 252,05\]

5 Fluxo de caixa

Apresentamos aqui, apenas alguns elementos sobre fluxo de caixa. O internauta interessado em obter mais detalhes, pode acessar outro link que constru�mos sobre Fluxo de caixa. Em nossa P�gina, existem muitos outros links sobre Matem�tica Financeira que constru�mos para dar suporte a este curso.

Fluxo de Caixa � um gr�fico contendo informa��es sobre Entradas e Sa�das de capital, realizadas em determinados per�odos. O fluxo de caixa pode ser apresentado na forma de uma linha horizontal (linha de tempo) com os valores indicados nos respectivos tempos ou na forma de uma tabela com estas mesmas indica��es.

A entrada de dinheiro para um caixa em um sistema banc�rio poder� ser indicada por uma seta para baixo enquanto que o indiv�duo que pagou a conta dever� colocar uma seta para cima. A invers�o das setas � uma coisa comum e pode ser realizada sem problema.

Consideremos uma situa��o em que foi feito um dep�sito inicial de 5.000,00 em uma conta que rende juros de $4\%$ ao ano, compostos mensalmente e que se continue a depositar mensalmente valores de $1.000,00$ durante os 5 meses seguintes. No 6o. m�s quer-se conhecer o Valor Futuro da reuni�o destes dep�sitos.

Para obter o Valor Futuro deste capital depositado em v�rios meses, usamos o fluxo de caixa e conceitos matem�ticos para calcular o valor resultante ou montante acumulado.

6 Juros compostos

Em juros compostos, o problema principal consiste em calcular o montante (soma) $S$ obtido pela aplica��o de um �nico valor principal $P$ no instante $t=0$, � taxa $i$ de juros (por per�odo) durante $n$ per�odos.

Exemplo: Considere a situa��o hipot�tica tal que, em 1994 a corre��o da caderneta de poupan�a tenha sido de $50\%$ em cada um dos 5 primeiros meses do ano. Se uma pessoa depositou $100,00$ em 01/01/94, poder�amos montar uma tabela para obter o resultado acumulado em 01/06/94.

Tempo	Data	Principal	Juros	Montante
0	01/01/94	100,00	0	100,00
1	01/02/94	100,00	50,00	150,00
2	01/03/94	150,00	75,00	225,00
3	01/04/94	225,00	112,50	337,50
4	01/05/94	337,50	168,75	506,20
5	01/06/94	506,25	253,13	759,38

Os juros foram calculados sobre os Principais nos in�cios dos meses que correspondiam aos montantes dos finais dos meses anteriores.

Juros Compostos s�o juros sobre juros (anatocismo)

A situa��o apresentada acima, pode ser analisada do ponto de vista matem�tico, com P=100,00 e i=50%=0,5. Assim:

\[\begin{align} S_1= & 100(1,5)^1 \\ S_2= & 100(1,5)^2 \\ S_3= & 100(1,5)^3 \\ S_4= & 100(1,5)^4 \\ S_5= & 100(1,5)^5 \end{align}\]

Em geral:

\[S_n = P(1+i)^n\]

onde

$S_n$ � a Soma ou montante composto;
$P$ � o Valor Principal aplicado inicialmente;
$i$ � a taxa unit�ria;
$n$ � o n�mero de per�odos da aplica��o.

Nota: A taxa e o n�mero de per�odos devem ser compat�veis ou homog�neos com respeito � unidade de tempo.

7 Montante composto

A f�rmula para o c�lculo do Montante, em fun��o do valor Principal $P$, da taxa $i$ ao per�odo e do n�mero de per�odos $n$, � dada por:

\[S = P(1+i)^n\]

Exemplo: Se a taxa de uma aplica��o � de $150\%$ ao ano, quanto tempo � necess�rio para dobrar o capital aplicado atrav�s de capitaliza��o composta?

Objetivo: $S=2P$, Taxa anual: $i=150/100=1,5$.

A f�rmula � dada por:

\[S=P(1+i)^n\]

Solu��o: $2P=P(1+1,5)^n$, logo

\[(2,5)^n = 2\]

Resolvemos esta �ltima equa��o aplicando logaritmos a ambos os lados da igualdade, para obter:

\[n = \frac{\log(2)}{\log(2,5)} = 0,7564708 \text{ de 1 ano}\]

Nota: T�bua de logaritmo imediata na Web.

Para obter o logaritmo de um n�mero $N$ na base natural, basta trocar $N$ pelo n�mero desejado e escrever:

javascript:Math.log(N)

na caixa branca do seu navegador que indica Endere�o (Location) desta p�gina. Ap�s obter o resultado, use o bot�o voltar (back) para cont�nuar os estudos. Uma forma alternativa � copiar a linha em azul para o Endere�o, pressionando a seguir a tecla ENTER para obter o resultado.

8 Fator de Acumula��o de Capital

Se $i$ � a taxa ao per�odo, $n$ � o n�mero de per�odos, definimos o Fator de Acumula��o de Capital ou Fator de $P$ para $S$, denotado por $FAC(i,n)$ ou $FPS(i,n)$, como:

\[FAC(i,n) = FPS(i,n) = (1+i)^n\]

Agora, podemos escrever o montante composto $S$ como o produto do valor Principal $P$ por FAC(i,n):

\[S = P FAC(i,n) = P FPS(i,n)\]

Utilidade: O $FAC(i,n)=(1+i)^n$ pode ser obtido com uma calculadora simples, dessas que normalmente n�o executam pot�ncias. Digita-se a taxa $i$, soma-se 1, aperta-se o sinal $\times$ (multiplica��o) e a seguir tecla-se o sinal de igualdade $n-1$ vezes.

Algumas variantes da f�rmula do Montante Composto, s�o:

\[\begin{align} S &= P(1+i)^n \\ n &= \frac{\log(S)-\log(P)}{\log(1+i)} \\ P &= S (1+i)^{-n} \\ i &= \left(\frac{S}{P}\right)^{1/n}-1 \end{align}\]

Uma variamte da f�rmula de Montante composto � usada na obten��o do Valor Atual $P$ de um capital futuro conhecido $S$.

\[P=S(1+i)^{-n}\]

9 Fator de Valor Atual

Se $i$ � a taxa ao per�odo, $n$ � o n�mero de per�odos, o Fator de Valor Atual ou Fator de S para P ou Fator de Desconto, denotado por $FVA(i,n)$ ou $FSP(i,n)$ como o inverso de $FAC(i,n)=FPS(i,n)$:

\[FVA(i,n) = FSP(i,n) = (1+i)^{-n}\]

Utilidade: O $FVA(i,n)=(1+i)^{-n}$ pode ser obtido com uma calculadora simples, dessas que normalmente n�o executam pot�ncias. Digita-se a taxa $i$, soma-se 1, aperta-se o sinal $\times$ (multiplica��o) e o sinal $=$ (de igualdade) $n-1$ vezes para obter $FAC(i,n)$ e a seguir teclamos o sinal de divis�o e finalmente o sinal $=$ (igual) para obter o $FVA(i,n)$, que � o inverso do $FAC(i,n)$.

10 C�lculo de juros Compostos

Os juros compostos podem ser caslculados pela f�rmula:

\[J = P [(1+i)^n-1]\]

Exemplo: Qual � o valor dos juros compostos pagos � taxa $i=100\%$ ao ano se o Principal � $1.000,00$ e a d�vida foi contra�da no dia 10/01/94 e deve ser paga em 12/04/94?

Solu��o: A contagem dos dias corresponde a $d=92$ dias.

D�vida: Qual deve ser a f�rmula para juros compostos quando a taxa � anual e o per�odo � indicado em uma unidade diferente de 1 ano? A id�ia � transformar 92 dias em unidades anuais para obter:

\[n = 92/365 de 1 ano \approx 0,252055 = 1/4 ano\]

Principal: $P=1000$; Taxa anual: $i=100/100=1$. A f�rmula empregada �:

\[J = P [(1+i)^n-1]\]

Solu��o:

\[J=1000[(1+1)^{1/4}-1]=1000(1,189207-1)=189,21\]

Teste: Voc� saberia obter a raiz quarta de um n�mero com uma calculadora que s� extrai a raiz quadrada? E a raiz oitava de um n�mero que s� extrai a raiz quadrada?

11 Taxas

Taxa � um �ndice num�rico relativo cobrado sobre um capital para a realiza��o de alguma opera��o financeira.

Sobre taxas, existe uma interessante observa��o do Prof. Jos� Dutra Vieira Sobrinho, na introdu��o do Cap.6 do seu livro Matem�tica Financeira:

No mercado financeiro brasileiro, mesmo entre os t�cnicos e executivos, reina muita confus�o quanto aos conceitos de taxas de juros principalmente no que se refere �s taxas nominal, efetiva e real. O desconhecimento generalizado desses conceitos tem dificultado o fechamento de neg�cios pela consequente falta de entendimento entre as partes. Dentro dos programas dos diversos cursos de Matem�tica Financeira existe uma verdadeira polui��o de taxas de juros.

Se a capitaliza��o � simples ou composta, existem tr�s tipos principais de taxas:

12 Taxa Nominal

A taxa Nominal � quando o per�odo de forma��o e incorpora��o dos juros ao Capital n�o coincide com aquele a que a taxa est� referida.

Exemplos:

Taxa	Per�odo	Capitaliza��o	Forma��o
$1200\%$	ao ano	com capitaliza��o	mensal
$450\%$	ao semestre	com capitaliza��o	mensal
$300\%$	ao ano	com capitaliza��o	trimestral

13 Taxa Efetiva

A taxa Efetiva � quando o per�odo de forma��o e incorpora��o dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa est� referida.

Exemplos:

Taxa	Per�odo	Capitaliza��o	Forma��o
$120\%$	ao m�s	com capitaliza��o	mensal
$450\%$	ao semestre	com capitaliza��o	semestral
$1300\%$	ao ano	com capitaliza��o	anual

14 Taxa Real

Taxa Real � a taxa efetiva corrigida pela infla��o do per�odo da opera��o.

Conex�o entre as taxas real, efetiva e de infla��o: A taxa Real $i_{real}$ n�o � a diferen�a entre a taxa efetiva $i_{efe}$ e a taxa da infla��o $i_{inf}$, mas existe uma rela��o �ntima entre as tr�s taxas, dadas por:

\[1+i_{efe} = (1+i_{real}) (1+i_{inf})\]

Exemplo: Se a taxa de infla��o mensal foi de $30\%$ e um valor aplicado no in�cio do m�s produziu um rendimento global de $32,6\%$ sobre o valor aplicado, ent�o o resultado � igual a $1,326$ sobre cada 1 unidade monet�ria aplicada. Assim, a varia��o real $var$ no final deste m�s, ser� definida por:

\[var_{real} = 1 + i_{real}\]

que pode ser calculada por:

\[var_{real}=\frac{\text{resultado}}{1+i_{inf}}\]

isto �:

\[var_{real} = \frac{1,326}{1,3} = 1,02\]

o que significa que a taxa real no per�odo, foi de:

\[i_{real} = 2\%\]

Aplica��o em poupan�a: Se o governo anuncia que a Caderneta de Poupan�a proporciona um rendimento real de $0,5\%$ ao m�s (=0,005), significa que o seu dinheiro deve ser corrigido pela taxa da infla��o $i_{inf}$, isto �, deve ser multiplicado por $1+i_{inf}$ e depois multiplicado por $1+0,5\%=1,005$.

Exemplo: Se uma pessoa possuia numa caderneta de poupan�a o valor de $670.890,45$ no dia 30/04/93 e a taxa da infla��o desde esta data at� 30/05/93 foi de $35,64\%$ entao ele deveria ter em sua conta no dia 30/05/93, o valor de:

\[V = 670.890,45{\times}1,3564{\times}1,005 = 914.545,77\]

15 Taxas equivalentes

Duas taxas $i_1$ e $i_2$ s�o equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital $P$ durante o mesmo per�odo de tempo, atrav�s de diferentes sistemas de capitaliza��o, produzem o mesmo montante final.

Exemplo: A aplica��o de $1.000,00$ � taxa de $10\%$ ao m�s durante 3 meses equivale a uma �nica aplica��o com a taxa de $33,1\%$ ao trimestre. Observemos o Fluxo de caixa da situa��o.

Tomando $P=1.000,00$, $i_1=0,1$ ao m�s e $n_1=3$ meses, segue pela f�rmula do Montante composto, que :

\[S_1 = P(1+i_1)^3 = 1000(1+0,1)^3=1000.(1,1)^3 = 1331,00\]

Tomando $P=1.000,00$, $i_2=33,1\%$ ao trimestre e $n_2=1$ trimestre e usando a f�rmula do Montante composto, obtemos:

\[S_2 = C(1+i_2)^1 = 1000(1+0,331) = 1331,00\]

Logo $S_1=S_2$ e a taxa de $33,1\%$ ao trimestre � equivalente � taxa capitalizada de $10\%$ ao m�s no mesmo trimestre.

Nota sobre taxas equivalentes: Afirmar que a taxa nominal de uma aplica��o � de $300\%$ ao ano capitalizada mensalmente, significa uma taxa de $25\%$ que est� sendo aplicada m�s a m�s, pois:

\[i = \frac{300}{12} = 25\]

Analogamente, a taxa nominal de $300\%$ ao ano corresponde a uma taxa de $75\%$ aplicada a cada trimestre, porque:

\[i = \frac{300}{4} = 75\]

Deve ficar claro que estas n�o s�o taxas efetivas.

C�lculos de taxas equivalentes: Como vimos, taxas equivalentes s�o aquelas obtidas por diferentes processos de capitaliza��o de um mesmo Principal $P$ para obter um mesmo montante $S$.

Tomamos $i_a$ uma taxa ao ano e $i_p$ uma taxa ao per�odo $p$, sendo que este per�odo poder� ser: 1 semestre, 1 quadrimestre, 1 trimestre, 1 m�s, 1 quinzena, 1 dia ou outro que se deseje. Deve ficar claro que tomamos 1 ano como o per�odo integral e que o n�mero de vezes que cada per�odo parcial ocorre em 1 ano � indicado por $Np$.

Exemplo: 1 ano tem: 2 semestres, 3 quadrimestres, 4 trimestres, 12 meses, 24 quinzenas e 360 dias.

A f�rmula b�sica que fornece a equival�ncia entre duas taxas �:

\[1+i_a = (1+i_p)^{Np}\]

onde

$i_a$ � a taxa anual;
$i_p$ � a taxa ao per�odo;
$Np$ � o n�mero de oer�odos em 1 ano.

Situa��es poss�veis com taxas equivalentes

\[\begin{array}{lllc} \hline \text{F�rmula} & \text{Taxa} & \text{Per�odo} & \text{No. de vezes} \\ \hline 1+i_a=(1+i_{sem})^2 & i_{sem} & semestre & 2 \\ 1+i_a=(1+i_{qua})^3 & i_{qua} & quadrimestre & 3 \\ 1+i_a=(1+i_{tri})^4 & i_{tri} & trimestre & 4 \\ 1+i_a=(1+i_{mes})^{12} & i_{mes} & m�s & 12 \\ 1+i_a=(1+i_{qui})^{24} & i_{qui} & quinzena & 24 \\ 1+i_a=(1+i_{sem})^{24} & i_{sem} & semana & 52 \\ 1+i_a=(1+i_{dia})^{365} & i_{dia} & dia & 365 \\ \hline \end{array}\]

Exemplo: Qual � a taxa efetiva equivalente � taxa de $12\%$ ao ano capitalizada m�s a m�s?

A frase: $12\%$ ao ano capitalizada m�s a m�s, significa que devemos dividir $12\%$ por 12 (n�mero de meses de 1 ano) para obter a taxa aplicada a cada m�s. Se estivesse escrito $12\%$ ao ano capitalizada trimestralmente dever�amos tomar a taxa igual a $12\%$ ao trimestre dividida por 4 (n�mero de trimestres de 1 ano) que � $3\%$.

Vamos observar o fluxo de caixa da situa��o:

Solu��o: A taxa mensal � $i_1=12\%/12=1\%=0,01$, assim a taxa efetiva � obtida por:

\[1+i_2 = (1,01)^{12} = 1,1268247\]

logo

\[i_2 = 0,1268247 = 12,68247%\]

Nota: Se $i_{\text{infla��o}}=0$, a taxa real equivale � taxa efetiva.

Exemplo: A taxa mensal efetiva, denotada por $i_m$, equivale � taxa anual $i_a=12\%$, � dada pela f�rmula:

\[1+i_a = (1 + i_m)^{12}\]

Como $i_a=12\%=0,12$ basta obter $i_m$ com a substitui��o dos valores na f�rmula acima para obter:

\[1,12 = (1+i_m)^{12}\]

Existem outros modos para resolver esta equa��o exponencial mas vamos aplicar o logaritmo na base 10 a ambos os lados da igualdade para obter:

\[\log(1,12) = 12 \log(1+i_m)\]

assim

\[\begin{align} \log(1+i_m) &= \log(1,12)/12 \\ &= 0,04921802267018/12 \\ &= 0,004101501889182 \end{align}\]

Usando esta igualdade e elevando ambos os membros � pot�ncia 10, obtemos

\[10^{\log(1+i_m)} = 10^{0,004101501889182}\]

assim

\[1 + i_m= 1,009488792934\]

e finalmente obtemos

\[i_m = 0,9488792934\%\]

Se voc� n�o lembra mas tem interesse em estudar o assunto, visite o link Logaritmos nesta mesma P�gina Matem�tica Essencial, que possui coisas interessantes sobre o assunto.

Nota: Interprete os �ltimos exemplos com muito cuidado!

16 Descontos

Nota��es comuns na �rea de descontos:

$D$ � o Desconto realizado sobre o t�tulo;
$A$ � o Valor Atual de um t�tulo;
$N$ � o Valor Nominal de um t�tulo;
$i$ � a Taxa de desconto;
$n$ � o N�mero de per�odos para o desconto.

Desconto � a diferen�a entre o Valor Nominal $N$ de um t�tulo (futuro) e o Valor Atual $A$ deste mesmo t�tulo.

\[D = N-A\]

H� dois tipos b�sicos de descontos: Comerciais (por fora) ou Racionais (por dentro).

17 Tipos de descontos

Descontos simples s�o obtidos com c�lculos lineares, mas os Descontos compostos s�o obtidos com c�lculos exponenciais.

Desconto Simples Comercial (por fora): O c�lculo deste desconto � an�logo ao c�lculo dos juros simples, substituindo-se o Capital $P$ na f�rmula de juros simples pelo Valor Nominal $N$ do t�tulo.

Desconto por fora	Juros simples
$D = N i n$	$j = P i n$
$N$ � o Valor Nominal	$P$ � o Valor Principal
$i$ � a taxa de desconto	$i$ � a taxa de juros
$n$ � o no. de per�odos	$n$ � o no. de per�odos

O valor atual no desconto por fora, � calculado por:

\[A = N-D = N-N.i.n = N(1-in)\]

Desconto Simples Racional (por dentro): O c�lculo deste desconto funciona an�logo ao c�lculo dos juros simples, substituindo-se o Capital $P$ na f�rmula de juros simples pelo Valor Atual $A$ do t�tulo.

O c�lculo do desconto racional � feito sobre o Valor Atual do t�tulo.

Desconto por dentro	Juros simples
$D = A i n$	$j = P i n$
$A$ � o Valor Atual	$P$ � o Valor Principal
$i$ � a taxa de desconto	$i$ � a taxa de juros
$n$ � o no. de per�odos	$n$ � o no. de per�odos

Como no desconto por dentro, $N=A+D=A+Ain$, o valor atual � dado por:

\[A = \frac{N}{1 + i n}\]

Desconto Comercial composto (por fora): Este tipo de desconto n�o � usado no Brasil e � an�logo ao c�lculo dos Juros compostos, substituindo-se o Principal $P$ pelo Valor Nominal $N$ do t�tulo.

Desconto composto por fora	Juros compostos
$A = N(1-i)^n$	$S = P(1+i)^n$
$A$ � o Valor Atual	$P$ � o Valor Principal
$i$ � a taxa negativa de desconto	$i$ � a taxa de juros
$n$ � o no. de per�odos	$$n � o no. de per�odos

Apenas para fins did�ticos, vamos obter a f�rmula para o c�lculo deste desconto, que � obtida por aplica��es repetidas do desconto simples para 1 per�odo.

Para $n=1$, o desconto composto por fora, funciona como o desconto simples por fora, logo:

\[A_1 = N(1-i)\]

onde $A_1$ � o valor atual do t�tulo com valor nominal $N$.

Para $n=2$, devemos reaplicar o mesmo processo, substituindo agora $N$ por $A_1$, para obter $A_2$, isto �:

\[A_2 = A_1(1-i) = N(1-i)^2\]

Com este racioc�nio, temos que, para cada n�mero natural $n$:

\[A_n = N(1-i)^n\]

Esta f�rmula � similar � formula do montante composto, dada por:

\[S = P (1+i)^n\]

Desconto Racional composto (por dentro): Este tipo de desconto � muito usado no Brasil.

Se $D = N-A$ e $N=A(1+i)^n$, ent�o

\[D = N-N(1+i)^{-n} = N[1-(1+i)^{-n}]\]

O melhor estudo que se pode fazer com o desconto racional composto � considerar o Valor Atual $A$ como o capital inicial de uma aplica��o e o Valor Nominal $N$ como o montante desta aplica��o, levando em considera��o que as taxas e os tempos funcionam de forma similar nos dois casos.

Exemplo a: Obter o desconto racional composto de um t�tulo cujo valor nominal � $10.000,00$, se o prazo de vencimento � de $n=5$ meses e a taxa de desconto � de $3,5\%$ ao m�s.

Solu��o:

\[D = 10.000,00 \frac{(1,035)^5-1}{1,035^5} = 1.580,30\]

Exemplo b: Uma empresa tomou um empr�stimo que deve ser pago 1 ano ap�s em um �nico pagamento de $18.000,00$ � taxa de $4,5\%$ ao m�s. Cinco meses ap�s ter feito o empr�stimo a empresa j� tem condi��es de resgatar o t�tulo. Se a empresa tiver um desconto racional composto calculado a uma taxa equivalente � taxa de juros cobrada na opera��o do empr�stimo, qual ser� o valor l�quido a ser pago pela empresa?

Valor nominal: $N=18.000,00$.
Taxa mensal: $i=4,5\%=0,045$
N�mero de per�odos para o desconto: $n=12-5=7$

F�rmula:

\[D = N\frac{(1+i)^n-1}{(1+i)^n}\]

18 Financiamento pelo Sistema Price

No estudo do financiamento de um bem de consumo, percebe-se que a Matem�tica Financeira � muito mais �til no nosso cotidiano do que outras matem�ticas. Aqui se v� a for�a do estudo de progress�es geom�tricas (PG), fato que n�o � poss�vel explicitar facilmente a alunos de n�veis elementares.

Mas, praticamente todos os indiv�duos est�o envolvidos com compras de bens de consumo no seu cotidiano, este ponto � fundamental pois transforma o estudo de Progress�es Geom�tricas em algo muito �til.

O sistema Price (Richard Price), � tamb�m chamado Sistema Franc�s (pois foi a Fran�a o primeiro pa�s que utilizou este sistema do ponto de vista comercial), corresponde a um financiamento onde todos os pagamentos sao iguais.

A id�ia essencial neste contexto � construir um fluxo de caixa e descobrir o Valor Atual ou Valor Presente de uma s�rie uniforme de pagamentos.

Antes de cont�nuar, vamos mostrar uma situa��o para identificar o que est� escondido sob os c�lculos de um financiamento.

Exemplo: Suponhamos que uma pessoa tenha comprado um carro para pagar em 4 presta��es mensais consecutivas e iguais de $8.000,00$, sem entrada, com taxa de $10\%$ ao m�s. Qual ser� o Valor Atual (real) deste carro?

Exerc�cio: Construir o fluxo de caixa do problema.

O que se deve fazer � calcular o valor atual de cada presta��o e realizar a soma desses valores para obter o Valor Atual do bem financiado.

\[\begin{align} A_1 &= 8000/(1,1)^1 \\ A_2 &= 8000/(1,1)^2 \\ A_3 &= 8000/(1,1)^3 \\ A_4 &= 8000/(1,1)^4 \end{align}\]

Assim o Valor Atual � a soma dos valores atuais parciais

\[A = 8000[(1,1)^{-1}+(1,1)^{-2}+(1,1)^{-3}+(1,1)^{-4}]\]

que pode ser escrito como:

\[A = 8000{\times}3,169865435 = 25.358,92\]

que � o valor � vista que custa o carro.

Um fato curioso � a express�o:

\[K = (1,1)^{-1}+(1,1)^{-2}+(1,1)^{-3}+(1,1)^{-4}\]

que indica a soma dos termos de uma progress�o geom�trica (PG) com 4 termos.

Na sequ�ncia, analisamos a situa��o geral quando temos $n$ presta��es em um modelo semelhante, considerando agora um financiamento cujo Valor Atual $A$ na data inicial (tempo=0) ser� pago em $n$ presta��es iguais a $R$ ao final de cada um dos $n$ meses seguidos, a taxas mensais iguais a $i$.

Fluxo de caixa do problema

O problema � similar ao anterior e pode ser resolvido do ponto de vista matem�tico, como :

\[A = R[(1+i)^{-1}+(1+i)^{-2}+...+(1+i)^{-n}]\]

Pondo em evid�ncia o termo (1+i)^{-n}, segue que:

\[A = R\frac{1+(1+i)^1+...+(1+i)^{n-1}}{(1 +i)^n}\]

e o termo do numerador corresponde � soma dos n primeiros termos de uma PG cujo primeiro termo � igual 1 e cuja raz�o � igual a $(1+i)$.

A f�rmula seguinte � a express�o matem�tica procurada por tantas pessoas para saber como s�o realizados os c�lculos de taxas de juros em financiamentos.

\[A = R \frac{(1+i)^n-1}{i(1+i)^n}\]

Esta n�o � uma express�o matem�tica simples! Quando se conhece a taxa $i$, o n�mero de per�odos $n$ e o valor de cada presta��o $R$ � bastante f�cil obter o Valor Atual $A$.

Quando conhecemos o Valor Atual (pre�o � vista) $A$, a presta��o $R$ e o n�mero $n$ de per�odos, n�o � f�cil obter a taxa de juros porque al�m de ser matematicamente dif�cil, o governo, as empresas e financeiras em geral, embutem muitas outras taxas a t�tulos diversos que mascaram o valor real da taxa!

Esta f�rmula matem�tica pode ser escrita como:

\[A = R FVA(i,n)\]

onde $FVA$ � a sigla para Fator de Valor Atual para uma s�rie uniforme, definido por:

\[FVA(i,n) =\frac{(1+i)^n-1}{i(1+i)^n}\]

Esta � a f�rmula usada nas tabelas financeiras que existem no com�rcio em geral e atrav�s dela podemos obter a taxa de um financiamento em presta��es com pagamentos iguais.

Para o pr�ximo exemplo, vamos admitir que o vendedor ou o dono de uma loja te garantiu o valor certo para a taxa ao per�odo, que eu n�o acredito em geral.

Para obter o valor da presta��o $R$ de um bem cujo pre�o � vista � $A$ e ser� pago em n presta��es iguais sem entrada, � taxa $i$ ao per�odo, sendo que a primeira presta��o ser� paga no final do primeiro per�odo, divide-se o valor atual $A$ pelo $FVA(i,n)$, isto �:

\[R = \frac{A}{FVA(i,n)}\]

Exemplo: Determinar a presta��o $R$ da compra de uma geladeira que custa � vista $A=1.000,00$ e que ser� paga em 12 meses, sem entrada, com um taxa de $5\%$ ao m�s.

Para realizar estes c�lculos de uma forma mais simples, acesse nesta mesma p�gina o link Presta��o mensal em um financiamento.

Se voc� souber o Valor � vista $A$, a presta��o $R$ e o n�mero $n$ de meses, voc� pode obter a taxa $i$ ao m�s, desde que possua uma tabela financeira ou ent�o acessar o link Taxa de juros em um financiamento.

Qual é o rendimento de 10 mil em quatro meses?

Logo, os rendimento será de 480 reais. Espero ter ajudado!

Qual o rendimento de R$ 10000 em 4 meses a uma taxa de juros simples de 14 4 ao ano?

Questão 2/5 - Cálculo Aplicado Qual é o rendimento de R$ 10.000,00 em quatro meses a uma taxa de juros simples de 14,4% ao ano? Nota: 20.0 A 100,00 B 150,00 C 180,00 D 350,00 E 480,00 Você acertou! C = 10.000,00 i = 14,4% a.a. = 14,4 / 12% a.m. = 1,2% a.m. = 0,012 a.m. J = C .

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