Sabendo que a matriz \[\begin{pmatrix} 1 &1& -1& 1& 1\\1& -1& 1& 1& 1\\-1& 1& 1& 1& 1\\1& 1& 1& -1& 1\\1& 1& 1& 1& -1 \end{pmatrix}\] é invertível, calcule a inversa de $A.$ Solução Considere a matriz i- Determine os valores de $x$ que tornam a matriz $A$ invertível Dada a matriz Calcular o determinante da matriz \[A=(a_{ij})\in \mathbb{M}(5\times 5,R),\] cujas entradas são da forma \[a_{ij} = 1+x_i -y_j\] para $x_t$, $y_t$ números reais quaisquer para todo $1\le t\le 5$. Calcule o determinante de Calcule o determinante de Calcule o determinante de Seja $A=(a_{i,j})$ a matriz $5\times 5$ cuja entrada na posição $(i,j)$ é $\max\{i,j\}$, o maior entre $i$ e $j$, para todo $i$ e $j$. Calcule $\det(A)$ e conclua se $A$ é ou não invertível. Calcule o determinante da matriz \[ A=\left(\begin{array}{ccccc} 4& 2& -4& 2& 2\\ 6& 2& 2& 4& 2\\ 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 1& 0& 1\\ 1& 1& -1& -1& -1 \end{array}\right)\] Considere a matriz $A$, que depende do parámetro $k,$ dada por \[A=\begin{pmatrix}2&0&5\\-4k&4k-1&k-2\\0&1-4k&0\end{pmatrix}.\] Determinar Considere a matriz, que depende do parámetro $k$, $$A = \left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0\\3k & 8+2k & k-1\\0 & 8k+8 & 0\end{array}\right)$$ Determinar para quais valores reais de $a$ a seguinte matriz $$A = \left(\begin{array}{ccc}a & 3 & a-2\\a & 4-a & a-1\\-3a & -9 & 7-2a\end{array}\right)$$é invertível. Calcule o determinante da matriz \[A=\begin{pmatrix} 1&-2&3&1\\ 5&-9&6&3\\ -1&2&-6&-2\\ 2&8&6&1 \end{pmatrix}\] Calcule o determinante da matriz \[\begin{pmatrix} 2&1&1&2&y\\ 1&1&1&1&1\\ -1&1&-1&-1&1\\ 1&1&1&-1&1\\ 1&1&-1&1&13 \end{pmatrix}.\] Determine para quais valores de $y$ a matriz é invertível. Considere a matriz \[ A=\begin{pmatrix} 1&1&1&x\\ 1&-1&1&1\\ 1&1&-1&1\\ 1&1&1&-2 \end{pmatrix} \] Calcule $\det(A)$, e $\det(A^{-1})$. Considere o sistema linear que depende de um parámetro \[ \left\{\begin{array}{ccccccc} x&+&y&+&3z&=&3\\ x&+&(a+1)y&+&3z&=&4\\ 2x&+&2y&+&2az&=&2a\end{array} \right. .\] Determine o conjunto solução para os diferentes valores de $a.$ Considere o sistema linear \[ \left\{\begin{array}{cccccc} -x& -y&+z&=&1\\x&-y&-az&=&1\\x&+ay&+z&=&-3\end{array}\right.\] a) Determine os valores de $a$ para os quais o sistema tem solução única. Considere o sistema linear \[ \left\{\begin{array}{cccccc}ax& +y&+z&=&1\\x&+ay&+z&=&1\\-x&+y&+az&=&1 \end{array}\right.\]que depende de um parâmetro $a.$ Considere o sistema linear nas três variáveis $x,y,~z$ dado por \[\left\{\begin{array}{ccccccc}x&-3y&-4z&=&3\\ax&+3y&-az&=&0\\x&+3ay&-10z&=&b\end{array}\right.\] Determine para quais valores de $a$ e $b$ o sistema Considere o sistema linear nas três variáveis $x,y,z$ $$\left\{\begin{array}{l}x + y + kz =1 \\x + ky + z =1 \\kx + y + z =1 \end{array} \right. $$ Considere o sistema linear nas três variáveis $x,y,z$ $$\left\{\begin{array}{ccccccc}x& + &ay& &&=&2 \\(a+1)x& + &2y &+& (a+2)z& =& 3b-2 \\x&+&ay&+&(a+2)z& = &b+2\end{array}\right.$$ Considere o sistema linear Dado $a\in\mathbb{R}$, considere o sistema a) Determine os valores de $a$ para os quais o sistema tem: solução única, infinitas soluções, nenhuma solução. Sendo Considere o sistema Considere o sistema linear que depende de um parámetro \[ \left\{\begin{array}{lllcc} x&+y&+z&=&23\\ x&+y&+(1-k^2)z&=&23+2k\\ x&&-k^2z&=&23+2k\\ \end{array} \right.\] Determine os valores de $k$ para que o sistema tenha solução única, infinitas soluções ou seja sem solução. Resolva o sistema para $k=1$. Verificar se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. a) Seja $AX=B$ um sistema linear com $m$ equações e $n$ variáveis. Se $nb) Toda matriz é produto de matrizes elementares. Determine se o conjunto $\mathcal{B}$ de vetores a seguir são linearmente independentes. Justifique. a) $\mathcal{B}=\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}$ com $\vec{u}=(1,1,1)$, $\vec{v}=(1,1,-1)$ e $\vec{w}=\overrightarrow{PQ}$ para $P=(1,1,1)$ e $Q=(1,2,2)$. Determine se o conjunto $\mathcal{B}$ de vetores a seguir é linearmente independente ou não. Justifique. Faça o produto escalar $\vec{u}\cdot \vec{v}$ para os seguintes casos. Também ache o cosseno do ângulo formado pelos vetores. Faça o produto escalar $\vec{u}\cdot \vec{v}$ para os seguintes casos. Também ache o cosseno do ângulo formado pelos vetores. Determine a área do triângulo $\widehat{ABC}$, onde $A=(1,0,1)$, $B=(1,1,1)$ e $C=(2,-1,1)$ das seguintes formas: Verificar se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Considere dois vetores $\vec{v}$ e $\vec{w}$ tais que $||\vec{v}||=5,$ $||\vec{w}||=2$ e o ângulo entre $\vec{v}$ e $\vec{w}$ é $\pi/3$. Determine, como combinação linear de $\vec{v}$ e $\vec{w},$ Sejam $\vec{u}$ e $\vec{v}$ dois vetores que satisfazem \[ ||\vec{u}||=3\quad ||\vec{v}||=8\quad\vec{u}\cdot\vec{v}=-12. \] Considere $\vec{w}=2\vec{u}+3\vec{v}$. Calcule \[ ||Proj_{\vec{u}}\vec{w}||\quad e\quad ||Proj_{\vec{v}}\vec{w}||.\] Sejam \[A=(1,-2,1)\quad B=(-1,0,2)\quad C=(3,20,150)\]e considere o triângulo $\widehat{ABC}$. Determine o ponto $R$ de forma tal que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AR}+\overrightarrow{RC}$ e $\overrightarrow{AR}$ seja paralelo a $\overrightarrow{AB}$. Solução Considere \[\vec{u}=3\vec{v}-5\vec{w}\] onde $||\vec{v}||^2=4$, $||\vec{w}||^2=3$ e $\vec{v}\cdot\vec{w}=1$. Calcule Considere as retas $r_1$, $r_2$ de equações \[ r_1:\left\{\begin{array}{ccc} x&=&1+\lambda\\ y&=&1+\lambda\\ z&=&1+2\lambda\\ \end{array} \right.\quad \lambda\in \mathbb{R}\quad\quad r_2:\frac{x-1}{2}=y-1=z \] Ache um ponto $Q_1\in r_1$ e um vetor $\vec{v}_1\parallel r_1$ e um ponto $Q_2\in r_2$ e um vetor $\vec{v}_2\parallel r_2$. Prove que elas são reversas de três formas diferentes Considere um paralelogramo $\widehat{ABDC}$ de com vertices em $A=(0,1,-1),~B=(0,0,1),~D=(2,-1,1)$. Determine Considere as retas \[ r:\left\{\begin{array}{cclc}x&=&6\alpha\\y&=&-6-14\alpha&\quad\alpha\in\mathbb{R},\\z&=&8+8\alpha\end{array}\right.\] \[ s:\left\{\begin{array}{cclc}x&=&2-78\beta\\y&=&8-114\beta&\quad\beta\in\mathbb{R}.\\z&=&-6-104\beta\end{array} \right.\] Determine se são reversas, paralelas ou concorrentes e o ângulo entre elas. Caso sejam reversas ou paralelas ache a distância entre elas. Achar a interseção dos planos \[ \pi_1:~7x-y-z=5, \] \[ \pi_2:~x+y-7z=-5. \] Considere o plano \[\pi: 3x+2y+2z=0\] e o ponto $A=(3,6,-2)$. Ache a equação simétrica da reta $r$ paralela ao plano e que passa pelo ponto $B$, simétrico a $A$ em relação ao plano $\pi,$ e é perpendicular ao vetor $\vec{v}=(-6,13,-4).$ Considere as retas \[ r_1:\left\{\begin{array}{ccc}x-2y+z=1\\x+y-2z=0\end{array}\right.\hspace{1cm}r_2:~\frac{x-1}{2}=\frac{1-z}{2}\hspace{.3cm}y=0;\] Determine: As retas $r$ e $s$ são dadas por $$r:=\left\{\begin{array}{l}x= 1 - t\\y= 2 +3t \\z=t\end{array}\right.\:t \in \mathbb{R} \:\:\:, \:\:s:=\left\{\begin{array}{l}x= 2\\y= 2+p \\z=-p\end{array}\right. \:p \in\mathbb{R}$$ As retas $r$ e $s$ são dadas por $$r:=\left\{\begin{array}{l}x= 1 +2t\\y=3+t \\z=1-t\end{array}\right. \:t \in \mathbb{R} \:\:\:, \:\: s:= \left\{x+2 = \frac{y-2}{-1} \:\:\mbox{ e } \:\: z=1 \right\}$$ Achar a equação da reta $r_3$ que intersepta as retas \[ r_1:~\left\{\begin{array}{cclc} x&=&-1+2t&\\ y&=&1+t&\quad t\in\mathbb{R}\\ z&=&0 \end{array}\right.\] e \[ r_2:~x-2=\frac{y-4}{2}\quad e\quad z=3\] e é perpendicular a ambas. Solução Dados quatro vértices, $O=(0,0,0)$, $A = (-2,-1,1)$, $B = (1,1,1)$, e $C = (5,1,-1)$ de um paralelepípedo, Encontrar equações paramétricas assim como uma equação linear que descreva os planos $\pi_1$ e $\pi_2$ que contém a reta $r$ definida por $$r:=\left\{\begin{array}{l}x= 1 + t\\y=-1+t\\z=2t\end{array}\right. \:t \in \mathbb{R} \:\:\:$$ e tais que $(1,0,0) \in \pi_1$ e $(0,0,0)\in \pi_2$. Dados o plano \[\pi: 2x+2y-z=6\] e o ponto $P:(2,2,-4)$, encontre As retas $r$ e $l$ são dadas por: \[r=\left\{\begin{array}{cc}x=0\\y=2-t&,\hspace{.2cm} t\in \mathbb{R}\\z=1-t\end{array}\right. \hspace{1cm}l=\left\{\begin{array}{cc} x-4=z-1\\y=3. \end{array}\right.\] Encontrar a equação do plano $\pi$ que é perpendicular a cada um dos planos \[\alpha\colon x-y-2z=0\hspace{2cm} \beta\colon 2x+y-4z-5=0\] e contém o ponto $A=(4,0,-2)$.
Determine se os seguintes pontos do $\mathbb R^3$ são coplanares: \[P_1=(1,0,1),\hspace{.3cm}P_2=(2,1,3),\hspace{.3cm}P_3=(1,1,1),\hspace{.3cm}P_4=(2,2,3).\] Considere a reta $r_1$ que passa por $Q=(0,0,1)$ e tem $\vec{v}=(1,2,-1)$ como vetor diretor, assim como a reta $r_2$ dada por \[\frac{x+1}{3} = \frac{y-1}{2} = z.\] Considere os planos \[ \pi_1:\left\{(x,y,z),~x-y=-2\right\},\] \[ \pi_2:\left\{\begin{array}{cclc} x&=&1+2\alpha+\beta&\\ y&=&2+2\alpha&\hspace{.5cm}\alpha,\beta\in \mathbb{R}.\\ z&=&1+2\alpha+\beta \end{array} \right. \] e a reta \[ r:\left\{(x,y,z),~x=y-1=z\right\}. \] Determine Considere o plano $\pi$ de equação \[ \pi:\left\{\begin{array}{cclc}x&=&3+2\alpha+2\beta\\ y&=&\alpha\hspace{3cm}\alpha,\beta\in\mathbb{R}\\ z&=&-1+\alpha+\beta \end{array} \right. ,\] e o ponto $A=(3,0,4)$. Determine o ponto $B$ que é simétrico a $A$ em relação ao plano. Determine o valor de $x$ para que os pontos \[ A=(-1,7,1)\quad B=(4,7,4)\quad C=(29,9+x,5)\quad D=(2,9,3)\] sejam coplanares. Considere a cônica de equação\[ 3x^2+6x+y^2-4y+4=0.\] Faça uma translação de coordenadas de forma tal que no novo sistema a equação da cônica acima esteja na forma canônica. Identifique a cônica e determine seus focos e vértices. Faça um esboço do gráfico. Seja $\mathcal{C}$ o lugar geométrico dos pontos $P=(x,y)$ do plano cujas coordenadas $x$ e $y$ satisfazem $$2y^2 - 3x^2 - 4y +12x+8=0$$ a) Qual é o tipo de cônica $\mathcal{C}$? Encontrar novas coordenadas para escrever a equação de $\mathcal{C}$ na forma canônica. Seja $\ell$ o lugar geométrico dos pontos $P=(x,y)$ no plano cujas coordenadas satisfazem a equação \[\ell\colon 9x^2 -16y^2 - 54x + 48 y + 81=0.\] Considere a cônica de equação \[ 2x^2+3y^2+4x-12y+8=0\] Determine Considere a cônica de equaçao \[ 3x^2-2y^2+2y+6x=5\] Considere a parábola de equação \[ x^2+y^2+2xy+24x-24y=144. \] Determine Foco, Vértice e reta diretriz. Faça um esboço da mesma contendo os dados achados. Considere uma rotação de coordenadas de um sistema $S=\{O=(0,0),~\{\vec{e}_1=(1,0),\vec{e}_2=(0,1)\}\}$ para um sistema $S'=\{O'=(0,0),~\{\vec{u}_1,\vec{u}_2\}\}$ em que $\vec{u}_1=k(6,-8)$ para algúm $k>0$. Determine, em cada caso, a rotação de coordenadas do sistema $xy$ a um novo sistema de coordenadas $x'y'$ segundo corresponda. \begin{itemize} Considere a cônica de equação \[ -26x^2+6y^2+24xy+360x-120y=900.\] Determine os focos e vértices. Com essa informação faça um esboço da cônica. Utilize a rotação dos eixos para achar a equação canônica da cônica de equação \[ x^2+Bxy+y^2=1. \] Encontre a sua exentricidade. Considere a cônica de equação \[ -26x^2+24xy+6y^2+18\sqrt{10}x-6\sqrt{10}y=180\] Seja $\mathcal{C}$ o lugar geométrico dos pontos $P(x,y)$ do plano cujas coordenadas $x$ e $y$ satisfazem $$5 x^2-2xy+5y^2-16\sqrt{2}x+8\sqrt{2}y+4=0$$ Encontrar as mudanças consecutivas das coordenadas que levam $\mathcal{C}$ à forma canônica e identificar a cônica $\mathcal{C}$. Considere a cônica de equação \[(x+1)y=\frac{1}{2}.\] Determine Seja $\ell$ o lugar geométrico dos pontos $P=(x,y)$ do plano cujas coordenadas $x$ e $y$ satisfazem \[4x^2 -4xy + 7y^2 +12x +6y -9=0.\] Seja $\mathcal{C}$ a curva do plano constituída dos pontos que satisfazem a equação \[3x^{2}+3y^{2}+2xy+4\sqrt{2}x-4\sqrt{2}y=-4.\] Seja $\mathcal{C}$ o lugar geométrico dos pontos $P(x,y)$ do plano cujas coordenadas $x$ e $y$ satisfazem $$4x^2-4xy+7y^2+12x+6y-9=0$$ a) Encontrar as mudanças consecutivas das coordenadas que levam $\mathcal{C}$ à forma canônica e identificar a cônica $\mathcal{C}$. Ache vértices e focos da cônica de coordenadas polares \[-9r+14580-81r\sin(\theta)=0.\] Considere a cônica de equação dada em coordenadas polares por \[r-2r\sin(\theta)=2.\] Ache os vértices e focos em coordenadas polares e cartesianas de duas formas diferentes: Considere a cônica de equação dada em coordenadas polares por \[2r+\sqrt{3}r\cos(\theta)+r\sin(\theta)=1.\] Ache os vértices e focos em coordenadas polares e cartesianas de duas formas diferentes: Considere a cônica cuja equação em coordenadas polares é dada por \[r=\frac{1}{2+\sin(\theta)}.\] Determine
a) Determine a superfície cônica, com vértice na origem, obtida a partir da curva definida por $$x^2 + \frac{y^2}{3} = 1 \mbox{ e } z=2.$$ b) Encontre uma parametrização dela. Mostre que $$9x^2 + y^2 +2z^2 +2xy-8xz -1 = 0 $$ determina a equação de uma superfície cilíndrica e determine uma equação da curva diretriz e um vetor paralelo com a reta geratriz. Considere a superfície de revolução $S$ obtida de rotacionar a curva \[\ell:z=y^2,\] no plano $yz$ ao redor do eixo $z.$ Determinar Encontrar a equação da superfície cilíndrica determinada pelo vetor $\vec{v}=(1,-1,2)$ e a curva diretriz \[\mathcal{C}:\left\{\begin{array}{r} z^2+4yz - y^2 +3y -5 =0\\x=0 \end{array}\right..\] Solução |