Qual é a relação existente entre as medidas dos ângulos internos θ e γ dessas figuras?

Ensino Fundamental, M�dio e Superior no Brasil

Geometria

Elementos de Geometria Euclidiana

Ariadine C.Ozan
S�nia F.L.Toffoli
Ulysses Sodr�

Material desta p�gina

• 1 Introdu��o � Geometria Euclidiana
• 2 Ponto, Reta e Plano
• 3 Pontos Colineares e semirretas
• 4 Segmentos consecutivos, colineares, congruentes e adjacentes
• 5 Ponto M�dio de um segmento
• 6 �ngulos Congruentes em um plano
• 7 Posi��es relativas de duas retas em um plano
• 8 Retas paralelas
• 9 Retas concorrentes
• 10 Retas perpendiculares
• 11 Retas transversais e �ngulos especiais
• 12 Alguns exerc�cios resolvidos

1 Introdu��o � Geometria Euclidiana

Este trabalho trata da Geometria Euclidiana, mas existem outros tipos de Geometria. A morte de Alexandre, o Grande, gerou v�rias disputas entre os generais do ex�rcito grego mas em \(306\) a.C., o controle da parte eg�pcia do imp�rio passou �s m�os de Ptolomeu I e uma de suas primeiras cria��es foi uma escola ou instituto conhecido como Museu, em Alexandria. Chamou um grupo de s�bios como professores, entre eles Euclides, o compilador de Os Elementos, que � o texto matem�tico de maior sucesso de todos os tempos. O grande organizador da geometria foi Euclides (\(300\) a.C.), cuja vida e at� mesmo o local de nascimento � algo d�bio. Ele � conhecido como Euclides de Alexandria, pois l� esteve para ensinar Matem�tica.

2 Ponto, Reta e Plano

Ponto, Reta e Plano s�o no��es primitivas dentre na Geometria. Os conceitos geom�tricos s�o estabelecidos por meio de defini��es. As no��es primitivas s�o adotadas sem defini��o. Como podemos imaginar ou formar conceitos de ponto, reta e plano, ent�o ser�o aceitos sem defini��o.

Podemos ilustrar com as seguintes ideias para entender alguns conceitos primitivos em Geometria:

1. Ponto: uma estrela, um pingo de caneta, um furo de agulha, etc
   
   
   

2. Reta: fio esticado, lados de um quadro, etc
   
   

3. Plano: o quadro negro, a superf�cie de uma mesa, etc
   
   

Nota��es de Ponto, Reta e Plano: As representa��es de objetos geom�tricos podem ser realizadas por letras usadas em nosso cotidiano, da seguinte forma:

1. Pontos: A, B, L e M representados por letras mai�sculas latinas;
2. Retas: r, s, x, p, q, u e v representados por letras min�sculas latinas;
   
3. Planos: \(\alpha\), \(\beta\) e \(\gamma\) representados por letras gregas min�sculas.
   
   O plano \(\alpha\) � figura rosa, o plano \(\beta\) � a figura de fundo branco e o plano \(\gamma\) � a figura amarela.

Nota: Por um �nico ponto passam infinitas retas. De um ponto de vista pr�tico, imagine o Polo Norte e todas as linhas meridianas (imagin�rias) da Terra passam por este ponto. Numa reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos, mas dois pontos distintos determinam uma �nica reta.

Em um plano e tamb�m fora dele, h� infinitos pontos.

As express�es infinitos pontos ou infinitas retas, significam tantos pontos ou retas quantas voc� desejar.

3 Pontos Colineares e semirretas

Pontos colineares: s�o pontos que pertencem a uma mesma reta. Na figura da esquerda, os pontos \(A\), \(B\) e \(C\) s�o colineares, pois todos pertencem � mesma reta \(r\). Na figura da direita, os pontos \(R\), \(S\) e \(T\) n�o s�o colineares, pois \(T\) n�o pertence � reta \(s\).

Semirretas: Um ponto \(O\) sobre uma reta \(s\), divide esta reta em duas semirretas. O ponto \(O\) � a origem comum �s duas semirretas que s�o denominadas semirretas opostas.

O ponto \(A\) � a origem da semirreta que cont�m os pontos \(A\) e \(B\) e tamb�m � a origem da semirreta que cont�m os pontos \(A\) e \(C\), nas duas figuras saeguintes. A semirreta que cont�m os pontos \(A\) e \(B\) e a semirreta que cont�m os pontos \(A\) e \(C\) s�o semirretas opostas. A nota��o \(XY\) para uma semirreta significa uma semirreta que cont�m os pontos \(X\) e \(Y\).

As semirretas \(AB\) e \(AC\) est�o na mesma reta, t�m a mesma origem e s�o infinitas em sentidos contr�rios, isto �, iniciam em um ponto e se prolongam infinitamente.

4 Segmentos consecutivos, colineares, congruentes e adjacentes

Dada uma reta \(s\) e dois pontos distintos \(A\) e \(B\) sobre esta reta, o conjunto de todos os pontos localizados entre \(A\) e \(B\), inclusive os pr�prios \(A\) e \(B\), recebe o nome de segmento de reta, neste caso, denotado por \(AB.\) �s vezes, � interessante trabalhar com segmentos que tem in�cio em um ponto denominado origem e terminam em outro ponto denominado extremidade. Os segmentos de reta s�o classificados como: consecutivos, colineares, congruentes e adjacentes.

Segmentos Consecutivos: Dois segmentos de reta s�o consecutivos se, a extremidade de um deles � tamb�m extremidade do outro, ou seja, uma extremidade de um coincide com uma extremidade do outro.

1. AB e BC s�o consecutivos
   
2. MN e NP s�o consecutivos
   
3. EF e GH n�o s�o consecutivos
   

Segmentos Colineares: Dois segmentos de reta s�o colineares se est�o numa mesma reta.

1. AB e CD s�o colineares
   
2. MN e NP s�o colineares
   
3. EF e FG n�o s�o colineares
   

Sobre segmentos consecutivos e colineares, podemos ter algumas situa��es:

Os segmentos \(AB\), \(BC\) e \(CD\) s�o consecutivos e colineares, mas os segmentos \(AB\) e \(CD\) n�o s�o consecutivos embora sejam colineares, mas os segmentos de reta \(EF\) e \(FG\) s�o consecutivos e n�o s�o colineares

Segmentos Congruentes: s�o aqueles que t�m as mesmas medidas. No desenho seguinte \(AB\) e \(CD\) s�o congruentes. A congru�ncia entre os segmentos \(AB\) e \(CD\) � denotada por \(AB \cong CD\), que se l�: \(AB\) � congruente a \(CD\), onde \(\cong\) � o s�mbolo de congru�ncia.

Segmentos Adjacentes: Dois segmentos consecutivos e colineares s�o adjacentes, se possuem em comum apenas uma extremidade e n�o t�m outros pontos em comum. \(MN\) e \(NP\) s�o adjacentes, tendo somente \(N\) em comum. \(MP\) e \(NP\) n�o s�o adjacentes, pois existem muitos pontos em comum.

5 Ponto M�dio de um segmento

\(M\) � o ponto m�dio do segmento de reta \(AB\), se \(M\) divide o segmento \(AB\) em dois segmentos congruentes, ou seja, \(AM \cong MB\). O ponto m�dio � o ponto de equil�brio de um segmento de reta.

Na sequ�ncia, vamos obter o ponto m�dio \(M\) de um segmento de reta \(AB\), usando com r�gua e compasso.

1. Com o compasso centrado no ponto \(A\), tra�amos um arco com o raio igual � medida do segmento \(AB\);
   
2. Com o compasso centrado em \(B\), tra�amos um outro arco com o mesmo raio que antes;
3. Os arcos ter�o interse��o em dois pontos localizados fora do segmento \(AB\);
4. Tra�amos a reta (vermelha) ligando os pontos obtidos na interse��o dos arcos;
5. O ponto m�dio \(M\) � a interse��o da reta (vermelha) com o segmento \(AB\).

6 �ngulos Congruentes em um plano

�ngulos congruentes: S�o �ngulos que possuem a mesma medida. No desenho seguinte, os �ngulos \(a\) e \(b\) s�o congruentes e os �ngulos \(c\) e \(d\) tamb�m s�o congruentes.

1. �ngulos complementares s�o aqueles cuja soma das medidas vale \(90\) graus .
2. �ngulos suplementares s�o aqueles cuja soma das medidas vale \(180\) graus .

7 Posi��es relativas de duas retas em um plano

8 Retas paralelas

Duas retas s�o paralelas se est�o em um mesmo plano e n�o possuem qualquer ponto em comum. Se as retas s�o coincidentes (a mesma reta) elas s�o paralelas.

� usual a nota��o \(a//b\), para indicar que as retas \(a\) e \(b\) s�o paralelas.

Propriedade da paralela: Por um ponto localizado fora de uma reta dada, pode ser tra�ada apenas uma reta paralela. Este fato � verdadeiro apenas na Geometria Euclidiana, que � a Geometria do nosso cotidiano.

Constru��o de paralela com r�gua e compasso

Dada uma reta \(r\) e um ponto \(C\) fora dessa reta, podemos construir uma reta paralela � reta dada que passa por \(C\). Este tipo de constru��o gerou muitas controv�rsias e culminou com outras defini��es de geometrias denominadas n�o Euclidianas, que mesmo sendo utilizadas na pr�tica, n�o se comportam da forma usual como um ser humano olha localmente para um objeto geom�trico.

1. Centrar o compasso em \(C\), tra�ar um arco que corta a reta em \(E\).
   
2. Com a mesma abertura do compasso, colocar a ponta seca do mesmo no ponto \(E\) e tra�ar um outro arco cortando a reta em \(F\).
3. Do ponto \(E\), com abertura igual � corda \(CF\), tra�ar um arco para obter \(D\).
4. Tra�ar uma reta ligando os pontos \(C\) e \(D\) e notar que a reta que passa em \(CD\) � paralela � reta que passa em \(EF\).

9 Retas concorrentes

Duas retas s�o concorrentes se possuem um �nico ponto em comum. Um exemplo de retas concorrentes pode ser obtido pelas linhas retas que representam ruas no mapa de uma cidade e a concorr�ncia ocorre no cruzamento das retas (ruas).

10 Retas perpendiculares

�ngulo reto: Um �ngulo que mede 90 graus. Todos os �ngulos retos s�o congruentes. Este tipo de �ngulo � fundamental nas edifica��es.

Retas perpendiculares: s�o retas concorrentes que formam �ngulos de 90 graus. Usamos a nota��o \(a \perp b\) para indicar que as retas \(a\) e \(b\) s�o perpendiculares.

Propriedade da reta perpendicular: Por um ponto localizado fora de uma reta dada, pode ser tra�ada apenas uma reta perpendicular.

Constru��o da perpendicular com r�gua e compasso (1)

Dada uma reta e um ponto fora da reta, podemos construir uma outra reta perpendicular � primeira, da seguinte forma:

1. Centrar o compasso em P e com uma abertura maior que a dist�ncia de P � reta, tra�ar um arco cortando a reta em dois pontos A e B;
   
2. Centrar o compasso no ponto A e com um raio igual � medida do segmento AB tra�ar um arco;
3. Centrar o compasso no ponto B e com a mesma abertura que antes tra�ar outro arco cortando o arco obtido antes no ponto C;
4. A reta que une os pontos P e C � perpendicular � reta dada, Portanto AB � perpendicular a PC.

Constru��o da perpendicular com r�gua e compasso (2)

Dada uma reta e um ponto P na reta, podemos obter uma reta perpendicular � reta dada, do seguinte modo:

1. Centrar o compasso em P e marcar os pontos A e B sobre a reta que est�o � mesma dist�ncia de P;
   
2. Centrar o compasso no ponto A e raio igual � medida de AB para tra�ar um arco;
3. Centrar o compasso no ponto B e com o mesmo raio, tra�ar um outro arco;
4. Os arcos cruzam-se em C;
5. A reta contendo PC � perpendicular � reta contendo o segmento AB.

11 Retas transversais e �ngulos especiais

Uma Reta transversal a outras retas, � uma reta que tem interse��o com as outras retas em pontos diferentes.

Na figura anterior, a reta \(t\) � transversal �s retas \(m\) e \(n\) e estas tr�s retas formam \(8\) �ngulos, sendo que os �ngulos \(3,4,5,6\) s�o �ngulos internos e os �ngulos \(1,2,7,8\) s�o �ngulos externos. Cada par destes �ngulos, recebe nomes de acordo com a localiza��o em rela��o � reta transversal e �s retas \(m\) e \(n\).

1. �ngulos Correspondentes: Est�o do mesmo lado da reta transversal. Um deles � interno e o outro � externo. Os pares s�o: \((1,5), (2,6), (3,7), (4,8)\)
2. �ngulos Alternos: Est�o em lados opostos da reta transversal. Ambos s�o externos ou ambos s�o internos. Os pares s�o: \((1,8), (2,7), (3,6), (4,5)\)
3. �ngulos Colaterais: Est�o do mesmo lado da reta transversal. Ambos s�o externos ou ambos s�o internos. Os pares s�o: \((1,7), (2,8), (3,5), (4,6)\)

�ngulos alternos e colaterais ainda podem ser internos ou externos:

\[\begin{array}{l|lll} \hline \text{alternos} & \text{internos} & (3,6)\;e\;(4,5) & \text{externos} & (1,8)\;e\;(2,7) \\ \hline \text{colaterais} & \text{internos} & (3,5)\;e\;(4,6) & \text{externos} & (1,7)\;e\;(2,8) \\ \hline \end{array}\]

Propriedades das retas tranversais

Se duas retas paralelas s�o cortadas por uma reta transversal (em cor vermelha), os �ngulos correspondentes s�o congruentes, isto �, t�m as mesmas medidas.

Se duas retas paralelas s�o cortadas por uma reta transversal, os �ngulos alternos internos s�o congruentes.

Na figura, o �ngulo \(3\) tamb�m � congruente aos �ngulos \(1\) e \(2\).

Quando duas retas \(r\) e \(s\) s�o paralelas e uma reta transversal \(t\) � perpendicular a uma das paralelas, ent�o ela tamb�m ser� perpendicular � outra.

�ngulos com lados paralelos: Sejam os �ngulos \(A\) e \(A'\) suplementares cujos lados s�o indicados pelas retas \(A_1\) e \(A_2\), e os �ngulos \(B\) e \(B'\) suplementares cujos lados s�o indicados pelas retas \(B_1\) e \(B_2\).

Se a reta \(A_1\) � paralela � reta \(B_1\) e a reta \(A_2\) � paralela � reta \(B_2\), ent�o os �ngulos \(A\) e \(B\) s�o congruentes e os �ngulos \(A'\) e \(B'\) tamb�m s�o congruentes.

Ainda temos uma outra informa��o que os �ngulos \(A\) e \(B'\) s�o suplementares, da mesma forma que os �ngulos \(A'\) e \(B\) s�o suplementares.

Um �ngulo � obtido pela rota��o do outro em torno do seu v�rtice: CSeja a situa��o em que dois �ngulos \(A\) e \(B\) possuem lados paralelos, como no caso acima.

Se a reta \(B_1\) for rodada de um �ngulo \(\theta=0\) em torno do v�rtice \(V_b\) para obter a reta \(R_1\) e a reta \(B_2\) for rodada de um �ngulo \(\theta\) em torno do v�rtice \(V_b\) para obter a reta \(R_2\), ocorre a forma��o de dois �ngulos suplementares \(R\) e \(R'\). Assim, os �ngulos \(A\) e \(R\) s�o congruentes e os �ngulos \(A'\) e \(R'\) tamb�m s�o congruentes.

A outra informa��o � que os �ngulos \(A\) e \(R'\) s�o suplementares, da mesma forma que os �ngulos \(A'\) e \(R\) s�o suplementares. Um importante caso particular deste fato, � quando \(\theta=90\) graus , que ser� explicitado abaixo.

�ngulos que possuem lados perpendiculares:

Sejam os �ngulos \(A\) e \(A'\) suplementares cujos lados s�o indicados pelas retas \(A_1\) e \(A_2\) e, os �ngulos \(B\) e \(B'\) suplementares cujos lados s�o indicados pelas retas \(B_1\) e \(B_2\).

Se a reta \(A_1\) � perpendicular � reta \(B_1\) e a reta \(A_2\) � perpendicular � reta \(B_2\), ent�o os �ngulos \(A\) e \(B\) s�o congruentes e os �ngulos \(A'\) e \(B'\) tamb�m s�o congruentes.

Temos outra informa��o que os �ngulos \(A\) e \(B'\) s�o suplementares, da mesma forma que os �ngulos \(A'\) e \(B\) s�o suplementares.

�ngulos de lados perpendiculares: s�o �ngulos cujos lados s�o perpendiculares e nesse caso, podem ser congruentes ou suplementares.

12 Alguns exerc�cios resolvidos

Nos exerc�cios abaixo, voc� deve obter as medidas dos �ngulos, a partir de cada figura anexada.

1. Calcular a medida do �ngulo \(x\).
   Solu��o: \(x/2=40\) graus , pois s�o �ngulos agudos de lados perpendiculares \(x=80\) graus .
   
2. Calcular a medida do �ngulo \(x\) graus.
   Solu��o: \(2x+40=180\) graus (�ngulos de lados perpendiculares um deles agudo e o outro obtuso), logo \(x=70\) graus .
   
3. Calcular as medidas dos �ngulos \(x\) e \(y\).
   Solu��o: Como \(x+(2/3)x=180\) graus (�ngulos colaterais externos), ent�o \(3x+2x=540\) graus, logo \(x=108\) graus. Mas, \(y=(2/3)x\) (�ngulos opostos pelos v�rtices) e temos que \(y=72\) graus.
   
4. Calcular as medidas dos �ngulos \(a\), \(b\) e \(c\).
   Solu��o: Como \(b+120=180\) graus (�ngulos com lados perpendiculares um deles agudo e o outro obtuso), ent�o \(b=60\) graus, mas \(a=c\) (�ngulos agudos com lados perpendiculares) e \(a+b+90=180\) graus (soma dos �ngulos de um tri�ngulo). Assim: \(a=30\) graus e \(c=30\) graus.
   
5. Calcular as medidas dos �ngulos \(a\) e \(b\), se as retas \(r\), \(s\) e \(t\) s�o paralelas.
   Solu��o: Como \(a=35\) graus (\(r||s\) e os �ngulos correspondentes), segue que \(b-a=70\) graus (\(s||t\) e os �ngulos correspondentes). Assim \(b=105\) graus.
   
6. Se as retas \(r\) e \(t\) s�o paralelas, obter as medidas dos �ngulos \(a\) e \(b\).
   Solu��o: \(a+125^{\circ}=180\) graus (�ngulos com lados paralelos um agudo e outro obtuso) e \(b+60=125\) graus (�ngulos agudos com lados paralelos). Logo \(a=55\) graus e \(b=65\) graus .
   

Qual é a relação existente entre as medidas dos ângulos internos ΘΘ é ΓΓ dessas?

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